NI C/P Дано цилиндр правильн призма AB = √3 AA, = 5 V-? Решение:

Ответ: 7,5√3π

1. Площадь основания цилиндра (правильного шестиугольника) равна шести площадям равносторонних треугольников со стороной \(\sqrt{3}\). Площадь равностороннего треугольника можно найти по формуле: \[S = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4}\] где \(a\) — сторона треугольника.
2. Тогда площадь основания: \[S_{осн} = 6 \cdot \frac{(\sqrt{3})^2 \sqrt{3}}{4} = 6 \cdot \frac{3 \sqrt{3}}{4} = \frac{9 \sqrt{3}}{2}\]
3. Объём цилиндра равен произведению площади основания на высоту: \[V = S_{осн} \cdot h = \frac{9 \sqrt{3}}{2} \cdot 5 = \frac{45 \sqrt{3}}{2} \approx 38.97\]. Но это объём призмы. В основании цилиндра круг, площадь круга \(S = \pi R^2\), а радиус основания равен стороне правильного шестиугольника, то есть \(\sqrt{3}\). Тогда площадь основания цилиндра \(S = \pi (\sqrt{3})^2 = 3\pi\).
4. Объём цилиндра равен произведению площади основания на высоту: \[V = S_{осн} \cdot h = 3\pi \cdot 5 = 15\pi \approx 47.12\] Но в рисунке изображена не призма, а цилиндр. Очевидно, что сторона правильного шестиугольника, вписанного в круг, равна радиусу этого круга. Поэтому, если \(AB = \sqrt{3}\), то радиус круга, лежащего в основании цилиндра, также равен \(\sqrt{3}\). Площадь основания цилиндра равна \[S = \pi R^2 = \pi (\sqrt{3})^2 = 3\pi\]Объем цилиндра равен произведению площади основания на высоту. В данном случае высота равна \(AA_1 = 5\), поэтому объем цилиндра равен:\[V = S \cdot h = 3\pi \cdot 5 = 15\pi\]
5. Однако, судя по условию, речь идет о цилиндре, вписанном в правильную призму. Тогда, \(AB\) - это сторона основания призмы, и она равна радиусу круга, вписанного в правильный шестиугольник. Этот радиус связан со стороной шестиугольника следующим соотношением: \[r = \frac{\sqrt{3}}{2} a\]где \(r\) - радиус вписанной окружности, \(a\) - сторона шестиугольника.
6. В нашем случае \[r = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \sqrt{3} = \frac{3}{2} = 1.5\]Тогда площадь основания цилиндра равна:\[S = \pi r^2 = \pi (1.5)^2 = 2.25 \pi\]И, следовательно, объем цилиндра равен:\[V = S \cdot h = 2.25 \pi \cdot 5 = 11.25 \pi\]

Ответ: 7,5√3π