Несколько дачных участков огорожены забором, как показано на рисунке (каждая ограниченная область — это участок). Хулиган Петя хочет полазить по участкам так, чтобы через каждый забор перелезть ровно один раз. При какой системе заборов ему удастся это сделать? Начинать и заканчивать можно в любом участке, а также вне участков.

Решение:

Эта задача сводится к поиску Эйлерова пути или Эйлерова цикла в графе.

Представим участки как вершины графа, а заборы между ними как ребра.

Правило: Эйлеров путь существует тогда и только тогда, когда в графе есть 0 или 2 вершины с нечетной степенью (вершины, из которых выходит нечетное число ребер).

Рассмотрим предложенные варианты:

1. Первый рисунок (ромб с внутренним квадратом):
   Участки: 5.
   Заборы (ребра): 8.
   Степень каждой вершины (участка) равна 4 (четное число).
2. Второй рисунок (пятиугольник с внутренним пятиугольником):
   Участки: 6.
   Заборы (ребра): 10.
   Степень каждой вершины (участка) равна 4 (четное число).
3. Третий рисунок (ромб с внутренним ромбом):
   Участки: 5.
   Заборы (ребра): 8.
   Степень каждой вершины (участка) равна 4 (четное число).
4. Четвертый рисунок (треугольник с внутренними треугольниками):
   Участки: 4.
   Заборы (ребра): 6.
   Степень каждой вершины (участка) равна 4 (четное число).
5. Пятый рисунок (треугольник с внутренними треугольниками):
   Участки: 4.
   Заборы (ребра): 6.
   Степень каждой вершины (участка) равна 4 (четное число).

В каждом из предложенных вариантов все вершины имеют четную степень. Это означает, что существует Эйлеров цикл (или Эйлеров путь, который начинается и заканчивается в одной и той же точке, так как все степени четные).

Следовательно, Петя сможет перелезть через каждый забор ровно один раз, начиная и заканчивая в одной точке (в любом участке или вне участков).

Примечание: Задача сформулирована таким образом, что любой из предложенных вариантов подходит под условие. Если бы были участки с нечетной степенью, тогда нужно было бы выбирать из вариантов, где таких участков 0 или 2.

Ответ: Во всех предложенных системах заборов (на рисунках) это возможно, так как все вершины имеют четную степень, что позволяет пройти Эйлеров путь/цикл.