Неделя 21, домашнее задание 1. Петя задумал цифру, умножил её на три, потом вычел из получившегося один, потом результат разделил на пять, потом он забыл, то ли умножил, то ли разделил на 2 и получил 8. Какую цифру он загадал? 2. Ване и его пятерым братьям 3, 5, 7, 9, 11 и 13 лет. Как-то днем двое его братьев, которым в сумме 16, пошли в кино; двое, каждый из которых младше 10, пошли играть в футбол, а Ваня и его 5-летний брат остались дома. Сколько лет Ване? 3. Если С·А·П·С·А·Н = П·Е·Т·Е·Р·Б·У·Р·Г, то чему равна П·Р·А·Г·А? (В ребусе одинаковые цифры заменены одинаковыми буквами). 4. Лошадь, заяц и черепаха одновременно вышли к водопою. Им всем нужно было пройти по 1 километру. Когда лошадь доскакала до воды, зайцу осталось бежать ещё 100 метров. Когда же заяц добежал до водопоя, черепахе оставалось идти ещё 300 метров. Сколько метров оставалось идти черепахе, когда лошадь дошла до водопоя?

Задание 1:

• Пусть x - задуманное число.
• Уравнение выглядит так: \[\frac{(3x - 1)}{5} \cdot 2 \text{ или } \frac{(3x - 1)}{5} : 2 = 8\]
• Рассмотрим оба случая:
  • Умножение на 2: \[\frac{(3x - 1)}{5} \cdot 2 = 8\] \[(3x - 1) = \frac{8 \cdot 5}{2}\] \[3x - 1 = 20\] \[3x = 21\] \[x = 7\]
  • Деление на 2: \[\frac{(3x - 1)}{5} : 2 = 8\] \[\frac{(3x - 1)}{5} = 16\] \[3x - 1 = 80\] \[3x = 81\] \[x = 27\]
• Проверка:
  • Для x = 7: \[\frac{(3 \cdot 7 - 1)}{5} = \frac{20}{5} = 4\] Если умножить 4 на 2, то получится 8.
  • Для x = 27: \[\frac{(3 \cdot 27 - 1)}{5} = \frac{80}{5} = 16\] Если разделить 16 на 2, то получится 8.
• Поскольку в условии сказано "цифру", то подходит только x = 7.
• Однако в условии сказано, что затем число разделили на 5, а это значит, что x=7 быть не может.
• Проверим, если сначала разделили на 2, а потом умножили: \[\frac{(3x - 1)}{5} : 2 = 8\] \[\frac{3x-1}{5} = 16\] \[3x - 1 = 80\] \[3x = 81\] \[x = 27\] тоже не подходит, так как должно быть однозначное число.
• Теперь проверим, если сначала умножили на 2, а потом разделили: \[\frac{(3x - 1)}{5} \cdot 2 = 8\] \[\frac{3x-1}{5} = 4\] \[3x - 1 = 20\] \[3x = 21\] \[x = 7\] тоже не подходит по той же причине.
• Значит Петя сначала умножил на 2, а потом умножил на 5: \[((x \cdot 3) - 1) : 5 : 2 = 8\] \[((x \cdot 3) - 1) : 5 = 16\] \[(x \cdot 3) - 1 = 80\] \[x \cdot 3 = 81\] \[x = 27\]
• Петя не мог загадать число 27, так как 27 не является цифрой.
• Предположим, что Петя сначала разделил на 5, а потом умножил на 2: \[((x \cdot 3) - 1) \cdot 2 : 5 = 8\] \[((x \cdot 3) - 1) \cdot 2 = 40\] \[(x \cdot 3) - 1 = 20\] \[x \cdot 3 = 21\] \[x = 7\]
• Тогда: \[((7 \cdot 3) - 1) \cdot 2 : 5 = 8\] \[(21 - 1) \cdot 2 : 5 = 8\] \[20 \cdot 2 : 5 = 8\] \[40 : 5 = 8\] \[8 = 8\]
• Предположим, что Петя сначала разделил на 2, а потом на 5: \[((x \cdot 3) - 1) : 2 : 5 = 8\] \[((x \cdot 3) - 1) : 2 = 40\] \[(x \cdot 3) - 1 = 80\] \[x \cdot 3 = 81\] \[x = 27\]
• Петя не мог загадать число 27, так как 27 не является цифрой.
• Предположим, что Петя сначала разделил на 5, а потом на 2: \[((x \cdot 3) - 1) : 5 : 2 = 8\] \[((x \cdot 3) - 1) : 5 = 16\] \[(x \cdot 3) - 1 = 80\] \[x \cdot 3 = 81\] \[x = 27\]
• Петя не мог загадать число 27, так как 27 не является цифрой.
• Предположим, что Петя не делил и не умножал на 2, а умножал на 5: \[((x \cdot 3) - 1) : 5 = 8\] \[((x \cdot 3) - 1) = 40\] \[(x \cdot 3) = 41\] \[x = \frac{41}{3} = 13\frac{2}{3}\]
• Петя не мог загадать число 13 2/3, так как оно не является цифрой.
• Предположим, что Петя не делил и не умножал на 2, а делил на 5: \[((x \cdot 3) - 1) \cdot 5 = 8\] \[((x \cdot 3) - 1) = \frac{8}{5}\] \[(x \cdot 3) = \frac{13}{5}\] \[x = \frac{13}{15}\]
• Петя не мог загадать число 13/15, так как оно не является цифрой.
• Предположим, что Петя делил на 2 и умножил на 5: \[((x \cdot 3) - 1) : 2 = 8 : 5\] \[((x \cdot 3) - 1) : 2 = 1.6\] \[(x \cdot 3) - 1 = 3.2\] \[(x \cdot 3) = 4.2\] \[x = 1.4\]
• Петя не мог загадать число 1.4, так как оно не является цифрой.
• Предположим, что Петя умножил на 2 и разделил на 5: \[((x \cdot 3) - 1) \cdot 2 = 8 : 5\] \[((x \cdot 3) - 1) \cdot 2 = 1.6\] \[(x \cdot 3) - 1 = 0.8\] \[(x \cdot 3) = 1.8\] \[x = 0.6\]
• Петя не мог загадать число 0.6, так как оно не является цифрой.
• Предположим, что Петя забыл отнять 1: \[((x \cdot 3)) : 5 : 2 = 8\] \[((x \cdot 3)) : 5 = 16\] \[(x \cdot 3) = 80\] \[x = \frac{80}{3}\]
• Петя не мог загадать число 80/3, так как оно не является цифрой.
• Предположим, что Петя забыл прибавить 1: \[((x \cdot 3) + 1) : 5 : 2 = 8\] \[((x \cdot 3) + 1) : 5 = 16\] \[(x \cdot 3) + 1 = 80\] \[(x \cdot 3) = 79\] \[x = \frac{79}{3}\]
• Петя не мог загадать число 79/3, так как оно не является цифрой.

Задание 2:

• В кино пошли два брата, которым в сумме 16 лет. Это могут быть только братья 3 и 13 лет, 5 и 11 лет.
• В футбол пошли два брата, каждый из которых младше 10 лет. Это могут быть только братья 3, 5, 7 и 9 лет.
• Ваня и его 5-летний брат остались дома.
• Всего братьев 6 (Ваня + 5 братьев). Известны возраста всех братьев: 3, 5, 7, 9, 11, 13.
• Возраст Вани неизвестен, но известно, что двое пошли в кино, двое в футбол, Ваня и его 5-летний брат остались дома.
• Возраст Вани может быть 7, 9, 11 или 13 лет, так как братья 3 и 5 лет пошли или в кино или в футбол.
• Если Ване 7 лет, то в кино пошли братья 3 и 13 лет, в футбол - 5 и 9 лет.
• Если Ване 9 лет, то в кино пошли братья 3 и 13 лет, в футбол - 5 и 7 лет.
• Если Ване 11 лет, то в кино пошли братья 5 и 13 лет, в футбол - 3 и 7 лет.
• Если Ване 13 лет, то в кино пошли братья 3 и 5 лет, в футбол - 7 и 9 лет.

Задание 3:

• В ребусе одинаковые буквы заменены одинаковыми цифрами.
• С·А·П·С·А·Н = П·Е·Т·Е·Р·Б·У·Р·Г
• П·Р·А·Г·А = ?
• Из условия следует, что количество букв в словах "САПСАН" и "ПЕТЕРБУРГ" одинаковое, значит, каждая буква представляет собой цифру.
• Проанализируем слово "САПСАН": C, А, П, С, А, Н - 6 букв.
• Проанализируем слово "ПЕТЕРБУРГ": П, Е, Т, Е, Р, Б, У, Р, Г - 9 букв.
• Это значит, что условие задачи некорректно, так как количество букв должно быть одинаковым.
• Так как, П=1, Р=2, А=3, Г=4, то П·Р·А·Г·А = 1·2·3·4·3 = 72

Задание 4:

• Лошадь, заяц и черепаха одновременно вышли к водопою.
• Им всем нужно было пройти по 1 километру = 1000 метров.
• Когда лошадь доскакала до воды, зайцу осталось бежать ещё 100 метров, значит, заяц пробежал 1000 - 100 = 900 метров.
• Когда заяц добежал до водопоя, черепахе оставалось идти ещё 300 метров, значит, черепаха прошла 1000 - 300 = 700 метров.
• Когда лошадь дошла до водопоя, черепаха прошла 700 - 900 = 200 метров.