Чтобы правильно определить, как пишется слово с "не", нужно понять, к какой части речи оно относится и есть ли какие-то особые условия. В данном случае, "брежно" - это наречие, образованное от прилагательного "брежный". Наречия на -о, образованные от качественных прилагательных, обычно пишутся с "не" слитно, если без "не" они не употребляются или если "не" придает слову противоположное значение.
В данном случае, слово "брежно" употребляется, и "не" придает слову противоположное значение (небрежно = халатно). Значит, пишем слитно: "небрежно".
Ответ: небрежно