1073. Не выполняя построения, найдите координаты точки пересечения графиков уравнений: a) 7x + 4y = 23 и 8х – 10y = 19; б) 11x – 6y = 2 и -8x + 5y = 3.

Привет, мои дорогие ученики! Давайте решим эту задачу вместе.

a) 7x + 4y = 23 и 8x – 10y = 19

Давай разберем по порядку. Нам нужно решить систему уравнений: \[ \begin{cases} 7x + 4y = 23 \\ 8x - 10y = 19 \end{cases} \] Чтобы решить эту систему, мы можем использовать метод подстановки или метод сложения. Давай попробуем метод сложения. Умножим первое уравнение на 5, а второе на 2, чтобы коэффициенты при y стали противоположными: \[ \begin{cases} 35x + 20y = 115 \\ 16x - 20y = 38 \end{cases} \] Теперь сложим эти два уравнения: \[ 35x + 16x = 115 + 38 \\ 51x = 153 \\ x = \frac{153}{51} \\ x = 3 \] Теперь, когда мы нашли x, подставим его значение в одно из исходных уравнений, чтобы найти y. Подставим в первое уравнение: \[ 7(3) + 4y = 23 \\ 21 + 4y = 23 \\ 4y = 2 \\ y = \frac{2}{4} \\ y = 0.5 \] Так что координаты точки пересечения для первого случая: (3, 0.5)

б) 11x – 6y = 2 и -8x + 5y = 3

Теперь решим вторую систему уравнений: \[ \begin{cases} 11x - 6y = 2 \\ -8x + 5y = 3 \end{cases} \] Умножим первое уравнение на 5, а второе на 6, чтобы коэффициенты при y стали противоположными: \[ \begin{cases} 55x - 30y = 10 \\ -48x + 30y = 18 \end{cases} \] Теперь сложим эти два уравнения: \[ 55x - 48x = 10 + 18 \\ 7x = 28 \\ x = \frac{28}{7} \\ x = 4 \] Теперь, когда мы нашли x, подставим его значение в одно из исходных уравнений, чтобы найти y. Подставим в первое уравнение: \[ 11(4) - 6y = 2 \\ 44 - 6y = 2 \\ -6y = -42 \\ y = \frac{-42}{-6} \\ y = 7 \] Так что координаты точки пересечения для второго случая: (4, 7)