Найти все решения систем уравнений второго порядка: a) {3x+2y=7, 4x-5y=40} б) {x-√3y=1, √3x-3y=√3} в) {2x-3y=6, 4x-6y=5} г) {7x-5y=0, 2x-21y=0} д) {2.1x-0.7y=1.4, 3x-y=2}

Решение:

а) Система линейных уравнений:

\( \begin{cases} 3x+2y=7 \\ 4x-5y=40 \end{cases} \)

Умножим первое уравнение на 5, второе на 2:

\( \begin{cases} 15x+10y=35 \\ 8x-10y=80 \end{cases} \)

Сложим уравнения:

\( 15x + 8x = 35 + 80 \)

\( 23x = 115 \)

\( x = \frac{115}{23} = 5 \)

Подставим x=5 в первое уравнение:

\( 3(5) + 2y = 7 \)

\( 15 + 2y = 7 \)

\( 2y = 7 - 15 \)

\( 2y = -8 \)

\( y = -4 \)

Ответ: (5; -4)

б) Система уравнений:

\( \begin{cases} x - \sqrt{3}y = 1 \\ \sqrt{3}x - 3y = \sqrt{3} \end{cases} \)

Выразим x из первого уравнения:

\( x = 1 + \sqrt{3}y \)

Подставим во второе уравнение:

\( \sqrt{3}(1 + \sqrt{3}y) - 3y = \sqrt{3} \)

\( \sqrt{3} + 3y - 3y = \sqrt{3} \)

\( \sqrt{3} = \sqrt{3} \)

Это тождество, значит, система имеет бесконечное множество решений. Все решения можно выразить через y:

\( x = 1 + \sqrt{3}y \)

Ответ: Бесконечное множество решений вида \( (1 + \sqrt{3}y; y) \), где y - любое действительное число.

в) Система линейных уравнений:

\( \begin{cases} 2x - 3y = 6 \\ 4x - 6y = 5 \end{cases} \)

Умножим первое уравнение на 2:

\( \begin{cases} 4x - 6y = 12 \\ 4x - 6y = 5 \end{cases} \)

Так как \( 12 \neq 5 \), система не имеет решений.

Ответ: Решений нет.

г) Система линейных уравнений:

\( \begin{cases} 7x - 5y = 0 \\ 2x - 21y = 0 \end{cases} \)

Из первого уравнения:

\( 7x = 5y \implies x = \frac{5}{7}y \)

Подставим во второе уравнение:

\( 2(\frac{5}{7}y) - 21y = 0 \)

\( \frac{10}{7}y - 21y = 0 \)

\( \frac{10y - 147y}{7} = 0 \)

\( -137y = 0 \)

\( y = 0 \)

Подставим y=0 в первое уравнение:

\( 7x - 5(0) = 0 \)

\( 7x = 0 \)

\( x = 0 \)

Ответ: (0; 0)

д) Система линейных уравнений:

\( \begin{cases} 2.1x - 0.7y = 1.4 \\ 3x - y = 2 \end{cases} \)

Умножим первое уравнение на 10:

\( \begin{cases} 21x - 7y = 14 \\ 3x - y = 2 \end{cases} \)

Разделим первое уравнение на 7:

\( \begin{cases} 3x - y = 2 \\ 3x - y = 2 \end{cases} \)

Уравнения идентичны. Система имеет бесконечное множество решений.

Выразим y из второго уравнения:

\( y = 3x - 2 \)

Ответ: Бесконечное множество решений вида \( (x; 3x - 2) \), где x - любое действительное число.