Контрольные задания > Найти все первообразные данной функции (1-17). 1.3 3x² - 4x². 2.3 1/x - 3/x³. 3.3 x⁵ - 2x. 4.4 -3/x² + 4/x³. 5.4 2 sin x + x². 6.5 √x - 2/√x. 7. 4 4eˣ + x³. 8.4 √x + 2x²√x. 9.4 sin 2x + 3 cos 3x. 10.5 4e⁻²ˣ + (x - 1)³. 11.5 2/√x+3 - sin² 2x. 12.6 2 cos²(x/2). 13.6 x/(1+x). 14.7 1/(x²-5x+6). 15. 7 cos x sin 3x. 16.7 x³/(x+1). 17.8 (2x+5)/(x²+5x+4).
Вопрос:

Найти все первообразные данной функции (1-17). 1.3 3x² - 4x². 2.3 1/x - 3/x³. 3.3 x⁵ - 2x. 4.4 -3/x² + 4/x³. 5.4 2 sin x + x². 6.5 √x - 2/√x. 7. 4 4eˣ + x³. 8.4 √x + 2x²√x. 9.4 sin 2x + 3 cos 3x. 10.5 4e⁻²ˣ + (x - 1)³. 11.5 2/√x+3 - sin² 2x. 12.6 2 cos²(x/2). 13.6 x/(1+x). 14.7 1/(x²-5x+6). 15. 7 cos x sin 3x. 16.7 x³/(x+1). 17.8 (2x+5)/(x²+5x+4).

Смотреть решения всех заданий с листа

Ответ:

Привет! Сейчас разберем эти задания на нахождение первообразных. Логика такая: найти первообразную — это значит найти такую функцию, производная которой равна заданной. Поехали!

1. 3x³ - 4x²

Краткое пояснение: Применяем формулу \(\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C\) для каждого члена.

Пошаговое решение:

  1. Находим первообразную для \(3x^3\): \(\int 3x^3 dx = 3 \cdot \frac{x^{3+1}}{3+1} = \frac{3}{4}x^4\)
  2. Находим первообразную для \(-4x^2\): \(\int -4x^2 dx = -4 \cdot \frac{x^{2+1}}{2+1} = -\frac{4}{3}x^3\)
  3. Объединяем результаты: \(\frac{3}{4}x^4 - \frac{4}{3}x^3 + C\)

Ответ: \(\frac{3}{4}x^4 - \frac{4}{3}x^3 + C\)

2. 1/x - 3/x³

Краткое пояснение: Используем \(\int \frac{1}{x} dx = \ln|x| + C\) и \(\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C\).

Пошаговое решение:

  1. Находим первообразную для \(\frac{1}{x}\): \(\int \frac{1}{x} dx = \ln|x|\)
  2. Находим первообразную для \(\frac{-3}{x^3} = -3x^{-3}\): \(\int -3x^{-3} dx = -3 \cdot \frac{x^{-3+1}}{-3+1} = \frac{3}{2}x^{-2} = \frac{3}{2x^2}\)
  3. Объединяем результаты: \(\ln|x| + \frac{3}{2x^2} + C\)

Ответ: \(\ln|x| + \frac{3}{2x^2} + C\)

3. x⁵ - 2x

Краткое пояснение: Применяем \(\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C\).

Пошаговое решение:

  1. Находим первообразную для \(x^5\): \(\int x^5 dx = \frac{x^{5+1}}{5+1} = \frac{x^6}{6}\)
  2. Находим первообразную для \(-2x\): \(\int -2x dx = -2 \cdot \frac{x^{1+1}}{1+1} = -x^2\)
  3. Объединяем результаты: \(\frac{x^6}{6} - x^2 + C\)

Ответ: \(\frac{x^6}{6} - x^2 + C\)

4. -3/x² + 4/x³

Краткое пояснение: Используем \(\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C\).

Пошаговое решение:

  1. Находим первообразную для \(\frac{-3}{x^2} = -3x^{-2}\): \(\int -3x^{-2} dx = -3 \cdot \frac{x^{-2+1}}{-2+1} = 3x^{-1} = \frac{3}{x}\)
  2. Находим первообразную для \(\frac{4}{x^3} = 4x^{-3}\): \(\int 4x^{-3} dx = 4 \cdot \frac{x^{-3+1}}{-3+1} = -2x^{-2} = \frac{-2}{x^2}\)
  3. Объединяем результаты: \(\frac{3}{x} - \frac{2}{x^2} + C\)

Ответ: \(\frac{3}{x} - \frac{2}{x^2} + C\)

5. 2 sin x + x²

Краткое пояснение: Используем \(\int \sin x dx = -\cos x + C\) и \(\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C\).

Пошаговое решение:

  1. Находим первообразную для \(2 \sin x\): \(\int 2 \sin x dx = -2 \cos x\)
  2. Находим первообразную для \(x^2\): \(\int x^2 dx = \frac{x^{2+1}}{2+1} = \frac{x^3}{3}\)
  3. Объединяем результаты: \(-2 \cos x + \frac{x^3}{3} + C\)

Ответ: \(-2 \cos x + \frac{x^3}{3} + C\)

6. √x - 2/√x

Краткое пояснение: Используем \(\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C\).

Пошаговое решение:

  1. Находим первообразную для \(\sqrt{x} = x^{1/2}\): \(\int x^{1/2} dx = \frac{x^{(1/2)+1}}{(1/2)+1} = \frac{2}{3}x^{3/2} = \frac{2}{3}x\sqrt{x}\)
  2. Находим первообразную для \(\frac{-2}{\sqrt{x}} = -2x^{-1/2}\): \(\int -2x^{-1/2} dx = -2 \cdot \frac{x^{(-1/2)+1}}{(-1/2)+1} = -4x^{1/2} = -4\sqrt{x}\)
  3. Объединяем результаты: \(\frac{2}{3}x\sqrt{x} - 4\sqrt{x} + C\)

Ответ: \(\frac{2}{3}x\sqrt{x} - 4\sqrt{x} + C\)

7. 4eˣ + x³

Краткое пояснение: Используем \(\int e^x dx = e^x + C\) и \(\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C\).

Пошаговое решение:

  1. Находим первообразную для \(4e^x\): \(\int 4e^x dx = 4e^x\)
  2. Находим первообразную для \(x^3\): \(\int x^3 dx = \frac{x^{3+1}}{3+1} = \frac{x^4}{4}\)
  3. Объединяем результаты: \(4e^x + \frac{x^4}{4} + C\)

Ответ: \(4e^x + \frac{x^4}{4} + C\)

8. √x + 2x²√x

Краткое пояснение: Используем \(\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C\).

Пошаговое решение:

  1. Находим первообразную для \(\sqrt{x} = x^{1/2}\): \(\int x^{1/2} dx = \frac{x^{(1/2)+1}}{(1/2)+1} = \frac{2}{3}x^{3/2} = \frac{2}{3}x\sqrt{x}\)
  2. Находим первообразную для \(2x^2\sqrt{x} = 2x^{5/2}\): \(\int 2x^{5/2} dx = 2 \cdot \frac{x^{(5/2)+1}}{(5/2)+1} = \frac{4}{7}x^{7/2} = \frac{4}{7}x^3\sqrt{x}\)
  3. Объединяем результаты: \(\frac{2}{3}x\sqrt{x} + \frac{4}{7}x^3\sqrt{x} + C\)

Ответ: \(\frac{2}{3}x\sqrt{x} + \frac{4}{7}x^3\sqrt{x} + C\)

9. sin 2x + 3 cos 3x

Краткое пояснение: Используем \(\int \sin(ax) dx = -\frac{1}{a}\cos(ax) + C\) и \(\int \cos(ax) dx = \frac{1}{a}\sin(ax) + C\).

Пошаговое решение:

  1. Находим первообразную для \(\sin 2x\): \(\int \sin 2x dx = -\frac{1}{2}\cos 2x\)
  2. Находим первообразную для \(3 \cos 3x\): \(\int 3 \cos 3x dx = \frac{3}{3}\sin 3x = \sin 3x\)
  3. Объединяем результаты: \(-\frac{1}{2}\cos 2x + \sin 3x + C\)

Ответ: \(-\frac{1}{2}\cos 2x + \sin 3x + C\)

10. 4e⁻²ˣ + (x - 1)³

Краткое пояснение: Используем \(\int e^{ax} dx = \frac{1}{a}e^{ax} + C\) и \(\int (x-1)^3 dx = \frac{(x-1)^4}{4} + C\).

Пошаговое решение:

  1. Находим первообразную для \(4e^{-2x}\): \(\int 4e^{-2x} dx = -2e^{-2x}\)
  2. Находим первообразную для \((x-1)^3\): \(\int (x-1)^3 dx = \frac{(x-1)^4}{4}\)
  3. Объединяем результаты: \(-2e^{-2x} + \frac{(x-1)^4}{4} + C\)

Ответ: \(-2e^{-2x} + \frac{(x-1)^4}{4} + C\)

11. 2/√x+3 - sin² 2x

Краткое пояснение: Используем \(\int \frac{1}{\sqrt{x+a}} dx = 2\sqrt{x+a} + C\) и \(\sin^2(ax) = \frac{1 - \cos(2ax)}{2}\).

Пошаговое решение:

  1. Находим первообразную для \(\frac{2}{\sqrt{x+3}}\) : \(\int \frac{2}{\sqrt{x+3}} dx = 4\sqrt{x+3}\)
  2. Находим первообразную для \(\sin^2 2x = \frac{1 - \cos 4x}{2}\): \(\int -\frac{1 - \cos 4x}{2} dx = -\frac{1}{2}x + \frac{1}{8}\sin 4x\)
  3. Объединяем результаты: \(4\sqrt{x+3} - \frac{1}{2}x + \frac{1}{8}\sin 4x + C\)

Ответ: \(4\sqrt{x+3} - \frac{1}{2}x + \frac{1}{8}\sin 4x + C\)

12. 2 cos²(x/2)

Краткое пояснение: Используем \(\cos^2(x/2) = \frac{1 + \cos x}{2}\).

Пошаговое решение:

  1. Преобразуем: \(2 \cos^2(\frac{x}{2}) = 2 \cdot \frac{1 + \cos x}{2} = 1 + \cos x\)
  2. Находим первообразную: \(\int (1 + \cos x) dx = x + \sin x + C\)

Ответ: \(x + \sin x + C\)

13. x/(1+x)

Краткое пояснение: Преобразуем функцию для упрощения интегрирования.

Пошаговое решение:

  1. Преобразуем: \(\frac{x}{1+x} = \frac{x+1-1}{1+x} = 1 - \frac{1}{1+x}\)
  2. Находим первообразную: \(\int (1 - \frac{1}{1+x}) dx = x - \ln|1+x| + C\)

Ответ: \(x - \ln|1+x| + C\)

14. 1/(x²-5x+6)

Краткое пояснение: Разложим знаменатель на множители и используем метод частичных дробей.

Пошаговое решение:

  1. Разложим знаменатель: \(x^2 - 5x + 6 = (x-2)(x-3)\)
  2. Разложим дробь: \(\frac{1}{(x-2)(x-3)} = \frac{A}{x-2} + \frac{B}{x-3}\) \(1 = A(x-3) + B(x-2)\)
  3. При \(x = 2\): \(1 = A(2-3) \Rightarrow A = -1\)
  4. При \(x = 3\): \(1 = B(3-2) \Rightarrow B = 1\)
  5. Итак: \(\frac{1}{(x-2)(x-3)} = \frac{-1}{x-2} + \frac{1}{x-3}\)
  6. Находим первообразную: \(\int (\frac{-1}{x-2} + \frac{1}{x-3}) dx = -\ln|x-2| + \ln|x-3| + C\)

Ответ: \(-\ln|x-2| + \ln|x-3| + C\)

15. cos x sin 3x

Краткое пояснение: Используем формулу произведения тригонометрических функций.

Пошаговое решение:

  1. Преобразуем: \(\cos x \sin 3x = \frac{1}{2} [\sin(3x+x) + \sin(3x-x)] = \frac{1}{2} [\sin 4x + \sin 2x]\)
  2. Находим первообразную: \(\int \frac{1}{2} (\sin 4x + \sin 2x) dx = \frac{1}{2} [-\frac{1}{4}\cos 4x - \frac{1}{2}\cos 2x] + C\)

Ответ: \(-\frac{1}{8}\cos 4x - \frac{1}{4}\cos 2x + C\)

16. x³/(x+1)

Краткое пояснение: Разделим числитель на знаменатель.

Пошаговое решение:

  1. Разделим: \(\frac{x^3}{x+1} = x^2 - x + 1 - \frac{1}{x+1}\)
  2. Находим первообразную: \(\int (x^2 - x + 1 - \frac{1}{x+1}) dx = \frac{x^3}{3} - \frac{x^2}{2} + x - \ln|x+1| + C\)

Ответ: \(\frac{x^3}{3} - \frac{x^2}{2} + x - \ln|x+1| + C\)

17. (2x+5)/(x²+5x+4)

Краткое пояснение: Преобразуем числитель, чтобы получить производную знаменателя.

Пошаговое решение:

  1. Преобразуем: \(x^2 + 5x + 4 = (x+1)(x+4)\). Заметим, что \((x^2+5x+4)' = 2x+5\).
  2. Используем замену: Пусть \(u = x^2 + 5x + 4\), тогда \(du = (2x+5)dx\).
  3. Находим первообразную: \(\int \frac{2x+5}{x^2+5x+4} dx = \int \frac{du}{u} = \ln|u| + C = \ln|x^2+5x+4| + C\)

Ответ: \(\ln|x^2+5x+4| + C\)

ГДЗ по фото 📸