Контрольные задания > Найти угол между градиентами скалярных полей U(x,y,z) и V(x,y,z) в точке М. v = x3/√2 - y3/√2 - 8z3/√3; u = y2z2/x2; M(√2;√2;√3/2)
Вопрос:

Найти угол между градиентами скалярных полей U(x,y,z) и V(x,y,z) в точке М. v = x3/√2 - y3/√2 - 8z3/√3; u = y2z2/x2; M(√2;√2;√3/2)

Смотреть решения всех заданий с листа

Ответ:

Разбираемся:

Краткое пояснение: Найдём градиенты данных функций, а затем угол между ними, используя формулу косинуса угла между векторами.

Пошаговое решение:

Для начала найдём градиент функции v(x,y,z):

  • ∂v/∂x = 3x2/√2
  • ∂v/∂y = -3y2/√2
  • ∂v/∂z = -24z2/√3

В точке M(√2; √2; √3/2) градиент v равен:

  • ∂v/∂x = 3(√2)2/√2 = 6/√2 = 3√2
  • ∂v/∂y = -3(√2)2/√2 = -6/√2 = -3√2
  • ∂v/∂z = -24(√3/2)2/√3 = -24(3/4)/√3 = -18/√3 = -6√3

Градиент v в точке M: grad_v = (3√2; -3√2; -6√3)

Теперь найдём градиент функции u(x,y,z):

  • ∂u/∂x = -2y2z2/x3
  • ∂u/∂y = 2yz2/x2
  • ∂u/∂z = 2y2z/x2

В точке M(√2; √2; √3/2) градиент u равен:

  • ∂u/∂x = -2(√2)2(√3/2)2/(√2)3 = -2*2*(3/4)/(2√2) = -3/(2√2) = -3√2/4
  • ∂u/∂y = 2(√2)(√3/2)2/(√2)2 = 2√2(3/4)/2 = 3√2/4
  • ∂u/∂z = 2(√2)2(√3/2)/(√2)2 = 2*2*(√3/2)/2 = √3

Градиент u в точке M: grad_u = (-3√2/4; 3√2/4; √3)

Найдём косинус угла между градиентами:

cos(α) = (grad_v · grad_u) / (|grad_v| * |grad_u|)

grad_v · grad_u = (3√2)(-3√2/4) + (-3√2)(3√2/4) + (-6√3)(√3) = -18/4 - 18/4 - 18 = -9/2 - 9/2 - 18 = -9 - 18 = -27

|grad_v| = √( (3√2)2 + (-3√2)2 + (-6√3)2 ) = √(18 + 18 + 108) = √144 = 12

|grad_u| = √( (-3√2/4)2 + (3√2/4)2 + (√3)2 ) = √(18/16 + 18/16 + 3) = √(9/8 + 9/8 + 3) = √(9/4 + 3) = √(9/4 + 12/4) = √(21/4) = √21/2

cos(α) = -27 / (12 * √21/2) = -27 / (6√21) = -9 / (2√21) = -9√21 / (2*21) = -3√21 / 14

α = arccos(-3√21 / 14) ≈ 2.618 ≈ 5π/6

Ответ: j. 5π/6

ГДЗ по фото 📸