Найти углы треугольника ABC, если известно, что \( AC = BC \) и \( \angle AOC = 128° \).

Решение:

По условию \( AC = BC \), значит, треугольник \( ABC \) — равнобедренный. Углы при основании \( AB \) равны: \( \angle BAC = \angle ABC \).

В треугольнике \( AOC \) известен угол \( \angle AOC = 128° \).

Предположение: \( O \) — центр вписанной или описанной окружности.

Вариант 1: \( O \) — центр описанной окружности.

1. Вписанный угол \( \angle ABC \) и центральный угол \( \angle AOC \) опираются на дугу \( AC \).
2. Если \( \angle AOC = 128° \) — центральный угол, то соответствующий вписанный угол \( \angle ABC = \angle AOC / 2 = 128° / 2 = 64° \).
3. Так как \( \angle BAC = \angle ABC \) (равнобедренный \( \triangle ABC \)), то \( \angle BAC = 64° \).
4. Тогда \( \angle ACB = 180° - (\angle BAC + \angle ABC) = 180° - (64° + 64°) = 180° - 128° = 52° \).
5. Проверим: центральный угол, опирающийся на дугу \( AB \), равен \( 2 \cdot \angle ACB = 2 \cdot 52° = 104° \). Центральный угол, опирающийся на дугу \( BC \), равен \( 2 \cdot \angle BAC = 2 \cdot 64° = 128° \).
6. Сумма центральных углов: \( 128° + 128° + 104° = 360° \).
7. Однако, на рисунке угол \( AOC \) выглядит тупым, но не настолько, как 128°. Также, на \( AC \) есть двойная отметка, что обычно означает равенство сторон \( AC \) и \( BC \).

Вариант 2: \( O \) — центр вписанной окружности.

1. В этом случае \( AO \) — биссектриса \( \angle BAC \) и \( CO \) — биссектриса \( \angle BCA \).
2. Угол \( \angle AOC = 90° + \frac{\angle ABC}{2} \).
3. Так как \( \triangle ABC \) равнобедренный, \( \angle BAC = \angle ABC \).
4. Пусть \( \angle ABC = x \). Тогда \( \angle BAC = x \).
5. \( \angle ACB = 180° - 2x \).
6. \( \angle AOC = 90° + \frac{x}{2} = 128° \).
7. \( \frac{x}{2} = 128° - 90° = 38° \).
8. \( x = 38° \cdot 2 = 76° \).
9. Значит, \( \angle ABC = 76° \) и \( \angle BAC = 76° \).
10. \( \angle ACB = 180° - (76° + 76°) = 180° - 152° = 28° \).
11. Проверим: \( AO \) — биссектриса \( \angle BAC \), \( CO \) — биссектриса \( \angle BCA \). \( \angle OAC = \angle BAC / 2 = 76° / 2 = 38° \). \( \angle OCA = \angle BCA / 2 = 28° / 2 = 14° \).
12. В \( \triangle AOC \): \( \angle AOC = 180° - (\angle OAC + \angle OCA) = 180° - (38° + 14°) = 180° - 52° = 128° \). Это совпадает с условием.

Ответ: \( \angle BAC = 76°, \angle ABC = 76°, \angle BCA = 28° \).