Найти точку максимума функции y = x^2 / (x+1)

Решение:

Для нахождения точки максимума функции \( y = \frac{x^2}{x+1} \), необходимо найти первую производную функции и приравнять ее к нулю.

1. Найдем первую производную функции \( y = \frac{x^2}{x+1} \) с помощью правила дифференцирования частного \( \left(\frac{u}{v}\right)\prime = \frac{u\prime v - uv\prime}{v^2} \), где \( u = x^2 \) и \( v = x+1 \).
2. \( u\prime = 2x \)
3. \( v\prime = 1 \)
4. \( y\prime = \frac{2x(x+1) - x^2 \cdot 1}{(x+1)^2} = \frac{2x^2 + 2x - x^2}{(x+1)^2} = \frac{x^2 + 2x}{(x+1)^2} \)
5. Приравняем производную к нулю: \( \frac{x^2 + 2x}{(x+1)^2} = 0 \)
6. Это возможно, когда числитель равен нулю: \( x^2 + 2x = 0 \)
7. Вынесем \( x \) за скобки: \( x(x+2) = 0 \)
8. Получаем два критических значения: \( x = 0 \) и \( x = -2 \).
9. Теперь определим, какая из этих точек является точкой максимума. Для этого проанализируем знак производной в интервалах, образованных этими значениями.
10. Рассмотрим интервал \( (-\infty, -2) \). Возьмем \( x = -3 \): \( y\prime(-3) = \frac{(-3)^2 + 2(-3)}{(-3+1)^2} = \frac{9 - 6}{(-2)^2} = \frac{3}{4} > 0 \). Функция возрастает.
11. Рассмотрим интервал \( (-2, 0) \). Возьмем \( x = -1 \). Производная в этой точке не определена, поэтому рассмотрим интервал \( (-2, -1) \) и \( (-1, 0) \).
12. Возьмем \( x = -1.5 \): \( y\prime(-1.5) = \frac{(-1.5)^2 + 2(-1.5)}{(-1.5+1)^2} = \frac{2.25 - 3}{(-0.5)^2} = \frac{-0.75}{0.25} < 0 \). Функция убывает.
13. Возьмем \( x = -0.5 \): \( y\prime(-0.5) = \frac{(-0.5)^2 + 2(-0.5)}{(-0.5+1)^2} = \frac{0.25 - 1}{(0.5)^2} = \frac{-0.75}{0.25} < 0 \). Функция убывает.
14. Рассмотрим интервал \( (0, \infty) \). Возьмем \( x = 1 \): \( y\prime(1) = \frac{1^2 + 2(1)}{(1+1)^2} = \frac{1 + 2}{2^2} = \frac{3}{4} > 0 \). Функция возрастает.
15. Из анализа знаков производной следует:
• В точке \( x = -2 \) производная меняет знак с плюса на минус, следовательно, это точка максимума.
• В точке \( x = 0 \) производная меняет знак с минуса на плюс, следовательно, это точка минимума.
16. Найдем значение функции в точке максимума \( x = -2 \): \( y(-2) = \frac{(-2)^2}{-2+1} = \frac{4}{-1} = -4 \).

Ответ: Точка максимума функции находится при \( x = -2 \). Значение функции в этой точке равно \( -4 \).