Найти точку максимума функции y = x^2 / (x+1)

Решение:

Для нахождения точки максимума функции \( y = \frac{x^2}{x+1} \) необходимо найти производную функции и приравнять её к нулю.

1. Найдем производную функции \( y \) по правилу дифференцирования частного: \( y' = \left( \frac{u}{v} \right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2} \), где \( u = x^2 \) и \( v = x+1 \).
2. Производные \( u \) и \( v \) равны: \( u' = 2x \), \( v' = 1 \).
3. Подставим в формулу производной частного: \[ y' = \frac{(2x)(x+1) - (x^2)(1)}{(x+1)^2} = \frac{2x^2 + 2x - x^2}{(x+1)^2} = \frac{x^2 + 2x}{(x+1)^2} \]
4. Приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки: \[ \frac{x^2 + 2x}{(x+1)^2} = 0 \]
5. Это возможно, когда числитель равен нулю: \( x^2 + 2x = 0 \).
6. Вынесем \( x \) за скобки: \( x(x+2) = 0 \).
7. Следовательно, критические точки: \( x = 0 \) и \( x = -2 \).
8. Теперь определим, какая из этих точек является точкой максимума. Для этого проверим знак производной в интервалах, образованных критическими точками и точкой разрыва \( x = -1 \).
9. Интервалы: \( (-\infty, -2) \), \( (-2, -1) \), \( (-1, 0) \), \( (0, \infty) \).
10. Возьмем тестовые значения:
• \( x = -3 \): \( y' = \frac{(-3)^2 + 2(-3)}{(-3+1)^2} = \frac{9-6}{4} = \frac{3}{4} > 0 \) (функция возрастает).
• \( x = -1.5 \): \( y' = \frac{(-1.5)^2 + 2(-1.5)}{(-1.5+1)^2} = \frac{2.25-3}{(-0.5)^2} = \frac{-0.75}{0.25} = -3 < 0 \) (функция убывает).
• \( x = -0.5 \): \( y' = \frac{(-0.5)^2 + 2(-0.5)}{(-0.5+1)^2} = \frac{0.25-1}{(0.5)^2} = \frac{-0.75}{0.25} = -3 < 0 \) (функция убывает).
• \( x = 1 \): \( y' = \frac{1^2 + 2(1)}{(1+1)^2} = \frac{1+2}{4} = \frac{3}{4} > 0 \) (функция возрастает).
11. Смена знака производной с "+" на "-" происходит в точке \( x = -2 \), что указывает на локальный максимум.
12. Смена знака производной с "-" на "+" происходит в точке \( x = 0 \), что указывает на локальный минимум.

Ответ: Точка максимума функции находится при x = -2.