Найти сумму целых решений неравенства $$\frac{(x-7)(x-2)}{(x+1)(x+5)} \le 0$$.

Решение:

Решим неравенство методом интервалов.

1. Найдем корни числителя и знаменателя: \( x-7=0 \Rightarrow x=7 \), \( x-2=0 \Rightarrow x=2 \), \( x+1=0 \Rightarrow x=-1 \), \( x+5=0 \Rightarrow x=-5 \).
2. Расположим корни на числовой оси в порядке возрастания: -5, -1, 2, 7.
3. Определим знаки выражений на каждом интервале:
   • \( x < -5 \): \( \frac{(-)(-) }{(-)(-)} = + \)
   • \( -5 < x < -1 \): \( \frac{(-)(-) }{(+)(-)} = - \)
   • \( -1 < x < 2 \): \( \frac{(-)(-) }{(+)(+)} = + \)
   • \( 2 \le x \le 7 \): \( \frac{(-)(+) }{(+)(+)} = - \)
   • \( x > 7 \): \( \frac{(+)(+) }{(+)(+)} = + \)
4. Учитывая, что \( x
   e -1 \) и \( x
   e -5 \) (так как знаменатель не может быть равен нулю), и знак неравенства \( \le \), выбираем интервалы, где выражение отрицательно или равно нулю.
5. Решение неравенства: \( x \in [-5; -1) \cup [2; 7] \).
6. Найдем сумму целых решений на этих интервалах:
   • На интервале \( [-5; -1) \): -5, -4, -3, -2. Сумма: \( -5 + (-4) + (-3) + (-2) = -14 \).
   • На интервале \( [2; 7] \): 2, 3, 4, 5, 6, 7. Сумма: \( 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 = 27 \).
7. Общая сумма целых решений: \( -14 + 27 = 13 \).

Ответ: 13.