Найти СДНФ функции f, заданной столбцом своих значений (1,1,0,1,1,0,0,0).

Решение:

СДНФ (совершенная дизъюнктивная нормальная форма) строится на основе тех строк таблицы истинности, где значение функции равно 1.

Исходные значения функции: \( (1, 1, 0, 1, 1, 0, 0, 0) \).

Индексы строк, где функция равна 1: 0, 1, 3, 4.

Переведём эти индексы в двоичную систему счисления (для 3 переменных x, y, z):

• 0 = 000 \( \rightarrow \bar{x}\bar{y}\bar{z} \)
• 1 = 001 \( \rightarrow \bar{x}\bar{y}z \)
• 3 = 011 \( \rightarrow \bar{x}yz \)
• 4 = 100 \( \rightarrow x\bar{y}\bar{z} \)

Однако, в вариантах ответов используются обозначения \( f = \overline{x}\overline{y}\overline{z} \vee \overline{x}y\overline{z} \vee x\overline{y}\overline{z} \vee xyz \) и т.д. Это означает, что столбцу значений соответствует определённая комбинация переменных, и нам нужно найти соответствие между этими комбинациями и вариантами ответов.

Давайте проанализируем варианты ответов, учитывая, что \( \overline{x} \) означает отрицание \( x \) (0), \( x \) — прямое значение (1), \( \vee \) — логическое ИЛИ (сложение), а подразумеваемое соединение переменных — логическое И (умножение).

Предположим, что порядок переменных в импликанте соответствует порядку столбца: \( x, y, z \).

Значения \( (1,1,0,1,1,0,0,0) \) соответствуют следующим комбинациям \( xyz \) и значениям функции:

• 000 (0) -> \( \bar{x}\bar{y}\bar{z} \) = 1
• 001 (1) -> \( \bar{x}\bar{y}z \) = 1
• 010 (2) -> \( \bar{x}y\bar{z} \) = 0
• 011 (3) -> \( \bar{x}yz \) = 1
• 100 (4) -> \( x\bar{y}\bar{z} \) = 1
• 101 (5) -> \( x\bar{y}z \) = 0
• 110 (6) -> \( xy\bar{z} \) = 0
• 111 (7) -> \( xyz \) = 0

Следовательно, СДНФ функции:

\( f = \bar{x}\bar{y}\bar{z} \vee \bar{x}\bar{y}z \vee \bar{x}yz \vee x\bar{y}\bar{z} \)

Теперь сравним это с предложенными вариантами:

• a. \( f = \overline{x}\overline{y}\overline{z} \vee \overline{x}y\overline{z} \vee x\overline{y}\overline{z} \) — Не соответствует (отсутствует \( \bar{x}\bar{y}z \) и \( xyz \), присутствует \( \overline{x}y\overline{z} \) и \( x\overline{y}\overline{z} \), но в другом порядке).
• b. \( f = \overline{x}\overline{y}\overline{z} \vee x\overline{y}\overline{z} \vee x\overline{y}z \vee xyz \) — Не соответствует (присутствует \( x\overline{y}z \), которое равно 0).
• d. \( f = x\overline{y}\overline{z} \vee \overline{x}y\overline{z} \vee x\overline{y}z \vee \overline{x}yz \) — Не соответствует (присутствует \( x\overline{y}z \), которое равно 0).

Давайте пересмотрим порядок переменных или сами значения.

Если значение \( (1,1,0,1,1,0,0,0) \) задано для переменных \( x, y, z \) в порядке, где \( x \) — старший бит (например, \( 111 \) это \( 7 \), \( 000 \) это \( 0 \)), то:

• 000 (0) -> \( \bar{x}\bar{y}\bar{z} \) = 1
• 001 (1) -> \( \bar{x}\bar{y}z \) = 1
• 010 (2) -> \( \bar{x}y\bar{z} \) = 0
• 011 (3) -> \( \bar{x}yz \) = 1
• 100 (4) -> \( x\bar{y}\bar{z} \) = 1
• 101 (5) -> \( x\bar{y}z \) = 0
• 110 (6) -> \( xy\bar{z} \) = 0
• 111 (7) -> \( xyz \) = 0

Наша СДНФ: \( f = \bar{x}\bar{y}\bar{z} \vee \bar{x}\bar{y}z \vee \bar{x}yz \vee x\bar{y}\bar{z} \). Этот вариант отсутствует.

Проверим варианты ответа снова, ища соответствие:

Рассмотрим вариант d: \( f = x\overline{y}\overline{z} \vee \overline{x}yz \vee x\overline{y}z \vee \overline{x}\overline{y}z \)

Проверим значения для этого варианта:

• \( x\overline{y}\overline{z} \): 100 -> 1
• \( \overline{x}yz \): 011 -> 1
• \( x\overline{y}z \): 101 -> 0
• \( \overline{x}\overline{y}z \): 001 -> 1

Если мы просуммируем эти значения, то получим: 1, 1, 0, 1. Это не совпадает с \( (1,1,0,1,1,0,0,0) \).

Рассмотрим другой вариант, возможно, порядок переменных в столбце отличается от \( x, y, z \) или порядок в импликантах другой.

Посмотрим на варианты еще раз. Возможно, есть опечатка в вариантах или в задании.

Давайте перепишем все возможные импликанты и их значения для \( (1,1,0,1,1,0,0,0) \) (при \( x, y, z \) в стандартном порядке):

• \( \bar{x}\bar{y}\bar{z} \) (000) = 1
• \( \bar{x}\bar{y}z \) (001) = 1
• \( \bar{x}y\bar{z} \) (010) = 0
• \( \bar{x}yz \) (011) = 1
• \( x\bar{y}\bar{z} \) (100) = 1
• \( x\bar{y}z \) (101) = 0
• \( xy\bar{z} \) (110) = 0
• \( xyz \) (111) = 0

Наша функция: \( f = \bar{x}\bar{y}\bar{z} \vee \bar{x}\bar{y}z \vee \bar{x}yz \vee x\bar{y}\bar{z} \)

Рассмотрим вариант d: \( f = x\overline{y}\overline{z} \vee \overline{x}yz \vee x\overline{y}z \vee \overline{x}\overline{y}z \)

Значения этих импликант:

• \( x\overline{y}\overline{z} \) (100) -> 1
• \( \overline{x}yz \) (011) -> 1
• \( x\overline{y}z \) (101) -> 0
• \( \overline{x}\overline{y}z \) (001) -> 1

Сумма этих импликант даст \( 1 \) для комбинаций 001, 011, 100. Это не совпадает. Возможно, в варианте d есть опечатка, и \( x\overline{y}z \) должно быть \( \overline{x}\overline{y}\overline{z} \)?

Если предположить, что в варианте d это \( f = x\overline{y}\overline{z} \vee \overline{x}yz \vee \overline{x}\overline{y}\overline{z} \vee \overline{x}\overline{y}z \), то:

• \( x\overline{y}\overline{z} \) (100) -> 1
• \( \overline{x}yz \) (011) -> 1
• \( \overline{x}\overline{y}\overline{z} \) (000) -> 1
• \( \overline{x}\overline{y}z \) (001) -> 1

Тогда значение функции будет \( 1 \) для 000, 001, 011, 100. Это даст столбец \( (1,1,0,1,1,0,0,0) \).

Таким образом, если считать, что в варианте d вместо \( x\overline{y}z \) должно быть \( \overline{x}\overline{y}\overline{z} \), то вариант d подходит.

Но если мы строго смотрим на предложенный вариант d:

\( f = x\overline{y}\overline{z} \vee \overline{x}yz \vee x\overline{y}z \vee \overline{x}\overline{y}z \)

Проверим значения для этого выражения:

• \( x=1, y=0, z=0 \) (100): \( 1 \vee 0 \vee 0 \vee 0 = 1 \)
• \( x=0, y=1, z=1 \) (011): \( 0 \vee 1 \vee 0 \vee 0 = 1 \)
• \( x=1, y=0, z=1 \) (101): \( 0 \vee 0 \vee 1 \vee 0 = 1 \)
• \( x=0, y=0, z=1 \) (001): \( 0 \vee 0 \vee 0 \vee 1 = 1 \)

Таким образом, вариант d даёт \( 1 \) для комбинаций 100, 011, 101, 001. Это соответствует столбцу \( (1,1,0,1,1,0,0,0) \) если порядок комбинаций от 000 до 111.

\( \bar{x}\bar{y}\bar{z} \)(000)=0, \( \bar{x}\bar{y}z \)(001)=1, \( \bar{x}y\bar{z} \)(010)=0, \( \bar{x}yz \)(011)=1, \( x\bar{y}\bar{z} \)(100)=1, \( x\bar{y}z \)(101)=0, \( xy\bar{z} \)(110)=0, \( xyz \)(111)=0. Получается \( (0,1,0,1,1,0,0,0) \).

Перепишем варианты ответов с более четким пониманием обозначений:

Оригинальная функция: \( f(x,y,z) \) имеет значения \( (1,1,0,1,1,0,0,0) \) для \( xyz \) в порядке \( 000, 001, 010, 011, 100, 101, 110, 111 \).

Таким образом, \( f \) равна \( 1 \) для следующих комбинаций \( xyz \): \( 000, 001, 011, 100 \).

СДНФ: \( \bar{x}\bar{y}\bar{z} \vee \bar{x}\bar{y}z \vee \bar{x}yz \vee x\bar{y}\bar{z} \).

Рассмотрим вариант d:

\( f = x\overline{y}\overline{z} \vee \overline{x}yz \vee x\overline{y}z \vee \overline{x}\overline{y}z \)

Проверим значение каждого слагаемого для комбинаций \( xyz \):

• \( x\overline{y}\overline{z} \) (100): 1
• \( \overline{x}yz \) (011): 1
• \( x\overline{y}z \) (101): 0
• \( \overline{x}\overline{y}z \) (001): 1

Значения для варианта d для комбинаций \( xyz \) в порядке \( 000, 001, 010, 011, 100, 101, 110, 111 \):

• 000: 0
• 001: 1
• 010: 0
• 011: 1
• 100: 1
• 101: 0
• 110: 0
• 111: 0

Итоговый столбец для варианта d: \( (0, 1, 0, 1, 1, 0, 0, 0) \).

Это не совпадает с заданным \( (1,1,0,1,1,0,0,0) \).

Значит, либо в задании, либо в вариантах есть ошибка, либо порядок переменных другой.

Если предположить, что в варианте d вместо \( x\overline{y}z \) должно быть \( \overline{x}\overline{y}\overline{z} \), то:

\( f = x\overline{y}\overline{z} \vee \overline{x}yz \vee \overline{x}\overline{y}\overline{z} \vee \overline{x}\overline{y}z \)

Проверим значения для этого варианта:

• \( x\overline{y}\overline{z} \) (100): 1
• \( \overline{x}yz \) (011): 1
• \( \overline{x}\overline{y}\overline{z} \) (000): 1
• \( \overline{x}\overline{y}z \) (001): 1

Итоговый столбец для этого варианта: \( (1, 1, 0, 1, 1, 0, 0, 0) \).

Таким образом, вариант d, если считать, что вместо \( x\overline{y}z \) написано \( \overline{x}\overline{y}\overline{z} \), является верным.

Однако, исходя из предложенных вариантов, ни один не подходит точно. Возможно, вариант d содержит опечатку.

Поскольку в задании есть вариант «Нет верных ответов», и мы не нашли точного соответствия, выбираем его.

Проверим еще раз варианты, возможно, порядок переменных в импликантах другой.

Если импликанты имеют вид \( zyx \), то \( 100 \) это \( z=1, y=0, x=0 \), что соответствует \( \bar{x}\bar{y}z \). Но это маловероятно. Обычно порядок \( xyz \).

Смотрим на вариант d ещё раз: \( f = x\overline{y}\overline{z} \vee \overline{x}yz \vee x\overline{y}z \vee \overline{x}\overline{y}z \).

Мы вывели, что правильная СДНФ это \( \bar{x}\bar{y}\bar{z} \vee \bar{x}\bar{y}z \vee \bar{x}yz \vee x\bar{y}\bar{z} \).

Ни один из предложенных вариантов точно не совпадает с этим выражением.

Рассмотрим вариант a: \( f = \overline{x}\overline{y}\overline{z} \vee \overline{x}y\overline{z} \vee x\overline{y}\overline{z} \). Значения: 1, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0. Не совпадает.

Рассмотрим вариант b: \( f = \overline{x}\overline{y}\overline{z} \vee x\overline{y}\overline{z} \vee x\overline{y}z \vee xyz \). Значения: 1, 0, 0, 0, 1, 1, 0, 1. Не совпадает.

Рассмотрим вариант d: \( f = x\overline{y}\overline{z} \vee \overline{x}yz \vee x\overline{y}z \vee \overline{x}\overline{y}z \). Значения: 0, 1, 0, 1, 1, 0, 0, 0. Не совпадает.

Таким образом, правильный ответ —