Найти площадь треугольника ABC.

Решение:

Дан треугольник ABC. Известно, что одна из сторон равна 8, другая сторона равна \( 5\sqrt{2} \), и угол между ними равен 45°.

Для нахождения площади треугольника, когда известны две стороны и угол между ними, используется формула:

\[ S = \frac{1}{2}ab \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \sin \alpha \]

Где a и b — длины двух сторон, а \( \alpha \) — угол между ними.

Подставим известные значения:

\[ S = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 5\sqrt{2} \cdot \sin 45° \]

Значение \( \sin 45° = \frac{\sqrt{2}}{2} \).

\[ S = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 5\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \]

Теперь вычислим:

\[ S = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 5 \cdot \frac{(\sqrt{2} \cdot \sqrt{2})}{2} \] \[ S = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 5 \cdot \frac{2}{2} \] \[ S = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 5 \cdot 1 \] \[ S = 4 \cdot 5 \] \[ S = 20 \]

Ответ: Площадь треугольника ABC равна 20.