3) Найти площадь фигуры, ограниченной заданными линиями 2 А) Параболой f(x) = 4 - х² и прямой f(x) = x + 2 2 - Б) Параболами f(x) = 4 - x², f(x) = (x – 2)² и осью ОХ

А) Парабола f(x) = 4 - x² и прямая f(x) = x + 2

• Шаг 1: Находим точки пересечения параболы и прямой, приравняв их уравнения:

\[4 - x^2 = x + 2\] \[x^2 + x - 2 = 0\]

• Шаг 2: Решаем квадратное уравнение.

Дискриминант: \[D = 1^2 - 4(1)(-2) = 1 + 8 = 9\] Корни: \[x_1 = \frac{-1 - \sqrt{9}}{2} = \frac{-1 - 3}{2} = -2\] \[x_2 = \frac{-1 + \sqrt{9}}{2} = \frac{-1 + 3}{2} = 1\]

• Шаг 3: Определяем, какая функция больше на интервале [-2, 1].

Возьмем точку x = 0, тогда f(0) = 4 - 0^2 = 4 (парабола) и f(0) = 0 + 2 = 2 (прямая). Парабола выше прямой.

• Шаг 4: Вычисляем площадь как интеграл от разности параболы и прямой на интервале [-2, 1]:

\[S = \int_{-2}^{1} (4 - x^2 - (x + 2)) dx = \int_{-2}^{1} (2 - x - x^2) dx\] \[S = \left[2x - \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3}\right]_{-2}^{1} = \left(2 - \frac{1}{2} - \frac{1}{3}\right) - \left(-4 - \frac{4}{2} - \frac{-8}{3}\right)\] \[S = 2 - \frac{1}{2} - \frac{1}{3} + 4 + 2 - \frac{8}{3} = 8 - \frac{1}{2} - \frac{9}{3} = 8 - \frac{1}{2} - 3 = 5 - \frac{1}{2} = \frac{9}{2} = 4.5\]

Б) Параболы f(x) = 4 - x², f(x) = (x – 2)² и осью ОХ

• Шаг 1: Находим точки пересечения парабол:

\[4 - x^2 = (x - 2)^2\] \[4 - x^2 = x^2 - 4x + 4\] \[2x^2 - 4x = 0\] \[2x(x - 2) = 0\] \[x_1 = 0, x_2 = 2\]

• Шаг 2: Определяем, какая функция больше на интервале [0, 2].

Возьмем точку x = 1, тогда f(1) = 4 - 1^2 = 3 и f(1) = (1 - 2)^2 = 1. Первая парабола выше второй.

• Шаг 3: Вычисляем площадь между параболами на интервале [0, 2]:

\[S_1 = \int_{0}^{2} (4 - x^2 - (x - 2)^2) dx = \int_{0}^{2} (4 - x^2 - (x^2 - 4x + 4)) dx = \int_{0}^{2} (-2x^2 + 4x) dx\] \[S_1 = \left[-\frac{2x^3}{3} + 2x^2\right]_{0}^{2} = -\frac{2(8)}{3} + 2(4) = -\frac{16}{3} + 8 = \frac{-16 + 24}{3} = \frac{8}{3}\]

• Шаг 4: Вычисляем площадь под параболой f(x) = (x - 2)² от 2 до точки пересечения с осью OX, то есть до x = 2:

Парабола f(x) = (x - 2)² касается оси OX в точке x = 2, поэтому площадь под ней на интервале [2, 2] равна 0.

• Шаг 5: Вычисляем площадь под параболой f(x) = 4 - x² от 0 до 2:

\[S_2 = \int_{0}^{2} (4 - x^2) dx = \left[4x - \frac{x^3}{3}\right]_{0}^{2} = 4(2) - \frac{2^3}{3} = 8 - \frac{8}{3} = \frac{24 - 8}{3} = \frac{16}{3}\]

• Шаг 6: Общая площадь:

Площадь между параболами и осью OX равна \(\frac{8}{3}\).

Ответ: А) 4.5, Б) \(\frac{8}{3}\)