Найти периметр треугольника ABC, если AB = 52.

Решение:

Дан треугольник ABC, в котором сторона AB = 52. Внутри треугольника вписана окружность. Из рисунка видно, что треугольник прямоугольный, так как у угла C есть прямой угол. Также видно, что окружность касается сторон AC, BC и AB.

Для прямоугольного треугольника существует формула для радиуса вписанной окружности: \( r = \frac{a+b-c}{2} \), где \( a \) и \( b \) — катеты, а \( c \) — гипотенуза. Также из рисунка видно, что радиус вписанной окружности равен 8. Значит, \( r = 8 \).

Периметр треугольника P = a + b + c. Формула периметра через радиус вписанной окружности: \( P = 2r + 2c \).

Из рисунка видно, что отрезок от вершины C до точки касания окружности равен радиусу, то есть 8. Это означает, что катеты \( a = BC \) и \( b = AC \) равны \( a = 8 + x \) и \( b = 8 + y \), где \( x \) и \( y \) — отрезки касательных из вершин B и A соответственно.

По теореме о касательных, проведенных из одной точки, отрезки касательных равны. Значит, отрезок от B до точки касания на AB равен отрезку от B до точки касания на BC. Обозначим их как \( x \). Отрезок от A до точки касания на AB равен отрезку от A до точки касания на AC. Обозначим их как \( y \).

Тогда стороны треугольника равны: \( a = 8+x \), \( b = 8+y \), \( c = x+y \).

Нам дано, что \( AB = 52 \). Это гипотенуза \( c \). Значит, \( c = x+y = 52 \).

Рассмотрим формулу периметра: \( P = a + b + c = (8+x) + (8+y) + (x+y) = 16 + 2x + 2y = 16 + 2(x+y) \).

Подставляем значение \( x+y = 52 \): \( P = 16 + 2(52) = 16 + 104 = 120 \).

Ответ: Периметр треугольника ABC равен 120.