Найти область допустимых значений уравнения \(\sqrt{x^2+5}=3-x\)

Решение:

Для того чтобы найти область допустимых значений (ОДЗ) иррационального уравнения \(\sqrt{x^2+5}=3-x\), необходимо учесть два условия:

1. Выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным.
2. Правая часть уравнения (значение корня) должна быть неотрицательной.

Условие 1:

\( x^2+5 \ge 0 \)

Это неравенство верно для любого действительного значения \(x\), так как \(x^2 \ge 0\) для всех \(x\), и \(x^2+5 \ge 5\).

Условие 2:

\( 3-x \ge 0 \)

Решим это неравенство:

\( 3 \ge x \)

или

\( x \le 3 \)

Объединяя оба условия, получаем, что ОДЗ данного уравнения является \(x \le 3\).

Варианты ответа:

• \( \mathbb{R} \) — неверно, так как не все действительные числа удовлетворяют условию.
• \( x \ge 3 \) — неверно, это противоречит условию \(x \le 3\).
• \( x \le 3 \) — верно.

Ответ: x ≤ 3