Найти неизвестные стороны и углы прямоугольного \(\triangle ABC\) (\(\angle C = 90^\circ\)), если: a) BC=2см, \(\cos B = \frac{1}{2}\) b) AC=3см, \(\sin B = \frac{\sqrt{2}}{2}\) c) AC=4см, \(tg B = \frac{\sqrt{3}}{3}\) (2) Основание равнобедренного \(\triangle\) равно 12см, а боковая стороне - 13см. Найдите \(\sin, cos, tg\) угла между боковой стороной \(\triangle\)-ке и высотой, проведённой к его основанию.

Ответ: См. подробное решение.

Задание 1

1. Пункт a:

Дано: \(BC = 2\) см, \(\cos B = \frac{1}{2}\)

Найти: стороны \(AB\), \(AC\) и угол \(B\)

Решение:

\(\cos B = \frac{BC}{AB}\), следовательно, \(AB = \frac{BC}{\cos B} = \frac{2}{\frac{1}{2}} = 4\) см.

По теореме Пифагора, \(AC = \sqrt{AB^2 - BC^2} = \sqrt{4^2 - 2^2} = \sqrt{16 - 4} = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}\) см.

Угол \(B\) находим из \(\cos B = \frac{1}{2}\), следовательно, \(B = 60^\circ\).

Угол \(A = 90^\circ - B = 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ\).

2. Пункт b:

Дано: \(AC = 3\) см, \(\sin B = \frac{\sqrt{2}}{2}\)

Найти: стороны \(AB\), \(BC\) и угол \(B\)

Решение:

\(\sin B = \frac{AC}{AB}\), следовательно, \(AB = \frac{AC}{\sin B} = \frac{3}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{6}{\sqrt{2}} = 3\sqrt{2}\) см.

По теореме Пифагора, \(BC = \sqrt{AB^2 - AC^2} = \sqrt{(3\sqrt{2})^2 - 3^2} = \sqrt{18 - 9} = \sqrt{9} = 3\) см.

Угол \(B\) находим из \(\sin B = \frac{\sqrt{2}}{2}\), следовательно, \(B = 45^\circ\).

Угол \(A = 90^\circ - B = 90^\circ - 45^\circ = 45^\circ\).

3. Пункт c:

Дано: \(AC = 4\) см, \(\tan B = \frac{\sqrt{3}}{3}\)

Найти: стороны \(AB\), \(BC\) и угол \(B\)

Решение:

\(\tan B = \frac{AC}{BC}\), следовательно, \(BC = \frac{AC}{\tan B} = \frac{4}{\frac{\sqrt{3}}{3}} = \frac{12}{\sqrt{3}} = 4\sqrt{3}\) см.

По теореме Пифагора, \(AB = \sqrt{AC^2 + BC^2} = \sqrt{4^2 + (4\sqrt{3})^2} = \sqrt{16 + 48} = \sqrt{64} = 8\) см.

Угол \(B\) находим из \(\tan B = \frac{\sqrt{3}}{3}\), следовательно, \(B = 30^\circ\).

Угол \(A = 90^\circ - B = 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ\).

Задание 2

Дано: Равнобедренный треугольник с основанием \(12\) см и боковой стороной \(13\) см.

Найти: \(\sin\), \(\cos\), \(\tan\) угла между боковой стороной и высотой, проведённой к основанию.

Решение:

Пусть \(a\) - боковая сторона (13 см), \(b\) - основание (12 см). Высота \(h\), проведённая к основанию, является также медианой.

Рассмотрим половину треугольника: прямоугольный треугольник с гипотенузой \(a\), катетом \(\frac{b}{2}\) и высотой \(h\).

По теореме Пифагора, \(h = \sqrt{a^2 - (\frac{b}{2})^2} = \sqrt{13^2 - 6^2} = \sqrt{169 - 36} = \sqrt{133}\) см.

Пусть \(\alpha\) - угол между боковой стороной и высотой.

Тогда, \(\sin \alpha = \frac{\frac{b}{2}}{a} = \frac{6}{13}\).

\(\cos \alpha = \frac{h}{a} = \frac{\sqrt{133}}{13}\).

\(\tan \alpha = \frac{\frac{b}{2}}{h} = \frac{6}{\sqrt{133}} = \frac{6\sqrt{133}}{133}\).

Ответ: См. подробное решение.