1 Найти корни уравнения: 1)x4-24x²-25=0 2) (x²-2)² + 16(x²-2) -161= 0 2. Решите систему уравнений { x² + 2y = -2, {x + y = -1. 3. Решите неравенство 3 + x ≤ 8x - (3x + 7). 4. Упростите выражение (а-3 • (a4)²) / a-6. 2 5. Постройте график функции у = х² - 4. Укажите, при каких значениях х функция принимает положительные значения. 6.В фермерском хозяйстве под гречиху было отведено два участка. С первого собрали 105 ц гречихи, а со второго, площадь которого на 3 га больше, собрали 152 ц. Найдите площадь каждого участка, если известно, что урожайнос гречихи на первом участке была на 2 ц с 1 га больше, чем на втором

Задание 1

1) Решим уравнение \(x^4 - 24x^2 - 25 = 0\)

Введем замену \(t = x^2\), тогда уравнение примет вид:

\(t^2 - 24t - 25 = 0\)

Решим квадратное уравнение:

\(D = (-24)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-25) = 576 + 100 = 676\)

\(t_1 = \frac{24 + \sqrt{676}}{2} = \frac{24 + 26}{2} = 25\)

\(t_2 = \frac{24 - \sqrt{676}}{2} = \frac{24 - 26}{2} = -1\)

Вернемся к замене:

\(x^2 = 25\) или \(x^2 = -1\)

Из \(x^2 = 25\) следует, что \(x = \pm 5\)

Уравнение \(x^2 = -1\) не имеет действительных корней.

Ответ: \(x = -5, x = 5\)

2) Решим уравнение \((x^2 - 2)^2 + 16(x^2 - 2) - 161 = 0\)

Введем замену \(t = x^2 - 2\), тогда уравнение примет вид:

\(t^2 + 16t - 161 = 0\)

Решим квадратное уравнение:

\(D = 16^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-161) = 256 + 644 = 900\)

\(t_1 = \frac{-16 + \sqrt{900}}{2} = \frac{-16 + 30}{2} = 7\)

\(t_2 = \frac{-16 - \sqrt{900}}{2} = \frac{-16 - 30}{2} = -23\)

Вернемся к замене:

\(x^2 - 2 = 7\) или \(x^2 - 2 = -23\)

Из \(x^2 - 2 = 7\) следует, что \(x^2 = 9\), тогда \(x = \pm 3\)

Из \(x^2 - 2 = -23\) следует, что \(x^2 = -21\), уравнение не имеет действительных корней.

Ответ: \(x = -3, x = 3\)

Задание 2

Решим систему уравнений:

\(\begin{cases} x^2 + 2y = -2 \\ x + y = -1 \end{cases} \)

Выразим \(y\) из второго уравнения: \(y = -1 - x\)

Подставим в первое уравнение: \(x^2 + 2(-1 - x) = -2\)

Раскроем скобки и упростим: \(x^2 - 2 - 2x = -2\)

\(x^2 - 2x = 0\)

\(x(x - 2) = 0\)

Следовательно, \(x = 0\) или \(x = 2\)

Найдем соответствующие значения \(y\):

Если \(x = 0\), то \(y = -1 - 0 = -1\)

Если \(x = 2\), то \(y = -1 - 2 = -3\)

Ответ: (0, -1), (2, -3)

Задание 3

Решим неравенство: \(3 + x \le 8x - (3x + 7)\)

Раскроем скобки: \(3 + x \le 8x - 3x - 7\)

Приведем подобные слагаемые: \(3 + x \le 5x - 7\)

Перенесем слагаемые с \(x\) в одну сторону, а числа в другую:

\(x - 5x \le -7 - 3\)

\(-4x \le -10\)

Разделим обе части на \(-4\), не забыв сменить знак неравенства:

\(x \ge \frac{-10}{-4}\)

\(x \ge 2.5\)

Ответ: \(x \ge 2.5\)

Задание 4

Упростим выражение: \(\frac{a^{-3} \cdot (a^4)^2}{a^{-6}}\)

Используем свойство степени: \((a^m)^n = a^{mn}\)

\(\frac{a^{-3} \cdot a^8}{a^{-6}}\) (так как \((a^4)^2 = a^{4 \cdot 2} = a^8\))

Теперь используем свойство: \(a^m \cdot a^n = a^{m+n}\)

\(\frac{a^{-3 + 8}}{a^{-6}} = \frac{a^5}{a^{-6}}\) (так как \(-3 + 8 = 5\))

Используем свойство: \(\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}\)

\(a^{5 - (-6)} = a^{5 + 6} = a^{11}\)

Ответ: \(a^{11}\)

Задание 5

Построим график функции \(y = x^2 - 4\)

Графиком является парабола с вершиной в точке (0, -4). Ветви направлены вверх.

Найдем точки пересечения с осью x, решая уравнение \(x^2 - 4 = 0\)

\(x^2 = 4\)

\(x = \pm 2\)

График пересекает ось x в точках (-2, 0) и (2, 0).

Функция принимает положительные значения при \(x < -2\) или \(x > 2\)

Ответ: Функция положительна при \(x < -2\) или \(x > 2\)

Задание 6

Пусть \(S_1\) - площадь первого участка, а \(S_2\) - площадь второго участка.

Из условия задачи:

\(S_2 = S_1 + 3\)

Пусть \(y_1\) - урожайность первого участка (ц/га), а \(y_2\) - урожайность второго участка.

Тогда: \(y_1 = y_2 + 2\)

С первого участка собрали 105 ц, со второго 152 ц.

Общий урожай: \(S_1 \cdot y_1 = 105\) и \(S_2 \cdot y_2 = 152\)

Подставим известные значения:

\(S_1 (y_2 + 2) = 105\) и \((S_1 + 3) y_2 = 152\)

\(S_1 y_2 + 2 S_1 = 105\) и \(S_1 y_2 + 3 y_2 = 152\)

Вычтем из второго уравнения первое:

\(3 y_2 - 2 S_1 = 152 - 105 = 47\)

\(3 y_2 = 2 S_1 + 47\)

\(y_2 = \frac{2 S_1 + 47}{3}\)

Подставим в \(S_1 y_2 + 2 S_1 = 105\):

\(S_1 \frac{2 S_1 + 47}{3} + 2 S_1 = 105\)

\(S_1 (2 S_1 + 47) + 6 S_1 = 315\)

\(2 S_1^2 + 47 S_1 + 6 S_1 - 315 = 0\)

\(2 S_1^2 + 53 S_1 - 315 = 0\)

Решим квадратное уравнение:

\(D = 53^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-315) = 2809 + 2520 = 5329\)

\(S_{1_1} = \frac{-53 + \sqrt{5329}}{4} = \frac{-53 + 73}{4} = 5\)

\(S_{1_2} = \frac{-53 - \sqrt{5329}}{4} = \frac{-53 - 73}{4} = -31.5\) (не подходит, так как площадь не может быть отрицательной)

Значит, \(S_1 = 5\) га

Тогда \(S_2 = S_1 + 3 = 5 + 3 = 8\) га

Ответ: Площадь первого участка 5 га, площадь второго участка 8 га.