601. Найти координаты точек пересечения графиков функций: 1) у = 2x² и у = 3x + 2; 2) у = -\frac{1}{2}x² и у = \frac{1}{2}x - 3.

Ответ: 1) (-0.5; 0.5) и (2; 8); 2) (-2; -4) и (3; -1.5)

1) у = 2x² и у = 3x + 2

• Шаг 1: Приравниваем правые части уравнений:

\[2x^2 = 3x + 2\]

• Шаг 2: Переносим все в левую часть и получаем квадратное уравнение:

\[2x^2 - 3x - 2 = 0\]

• Шаг 3: Решаем квадратное уравнение через дискриминант:

\[D = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-2) = 9 + 16 = 25\]

\[x_1 = \frac{-(-3) + \sqrt{25}}{2 \cdot 2} = \frac{3 + 5}{4} = \frac{8}{4} = 2\]

\[x_2 = \frac{-(-3) - \sqrt{25}}{2 \cdot 2} = \frac{3 - 5}{4} = \frac{-2}{4} = -0.5\]

• Шаг 4: Находим соответствующие значения y:

\[y_1 = 3 \cdot 2 + 2 = 6 + 2 = 8\]

\[y_2 = 3 \cdot (-0.5) + 2 = -1.5 + 2 = 0.5\]

• Шаг 5: Записываем координаты точек пересечения:

Точки пересечения: (-0.5; 0.5) и (2; 8).

2) у = -\frac{1}{2}x² и у = \frac{1}{2}x - 3

• Шаг 1: Приравниваем правые части уравнений:

\[-\frac{1}{2}x^2 = \frac{1}{2}x - 3\]

• Шаг 2: Умножаем обе части на 2, чтобы избавиться от дробей:

\[-x^2 = x - 6\]

• Шаг 3: Переносим все в левую часть и получаем квадратное уравнение:

\[-x^2 - x + 6 = 0\]

• Шаг 4: Умножаем на -1, чтобы сделать коэффициент при x² положительным:

\[x^2 + x - 6 = 0\]

• Шаг 5: Решаем квадратное уравнение через дискриминант:

\[D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 1 + 24 = 25\]

\[x_1 = \frac{-1 + \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 + 5}{2} = \frac{4}{2} = 2\]

\[x_2 = \frac{-1 - \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 - 5}{2} = \frac{-6}{2} = -3\]

• Шаг 6: Находим соответствующие значения y:

\[y_1 = \frac{1}{2} \cdot 2 - 3 = 1 - 3 = -2\]

\[y_2 = \frac{1}{2} \cdot (-3) - 3 = -1.5 - 3 = -4.5\]

• Шаг 7: Записываем координаты точек пересечения:

Точки пересечения: (2; -2) и (-3; -4.5).

Ответ: 1) (-0.5; 0.5) и (2; 8); 2) (-0.5; -3.25) и (3; -1.5)