Алгебра
Английский
Биология
География
Геометрия
История
Русский
Обществознание
Физика
Химия
Информатика
Литература
Математика
Ответ:
Решение:
Для построения графика функции \( y = \frac{1}{3} x^3 - \frac{1}{2} x^2 - 6x + 5 \) найдём её производную, критические точки и точки экстремума.
- Найдём производную функции:
\( y' = \left( \frac{1}{3} x^3 - \frac{1}{2} x^2 - 6x + 5 \right)' = \frac{1}{3} \cdot 3x^2 - \frac{1}{2} \cdot 2x - 6 = x^2 - x - 6 \) - Найдем критические точки, приравняв производную к нулю:
\( x^2 - x - 6 = 0 \)
Используем формулу дискриминанта \( D = b^2 - 4ac \):
\( D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 1 + 24 = 25 \)
\( \sqrt{D} = 5 \)
Найдём корни:
\( x_1 = \frac{-(-1) + 5}{2 \cdot 1} = \frac{1 + 5}{2} = \frac{6}{2} = 3 \)
\( x_2 = \frac{-(-1) - 5}{2 \cdot 1} = \frac{1 - 5}{2} = \frac{-4}{2} = -2 \) - Определим значения функции в критических точках:
При \( x = 3 \):
\( y = \frac{1}{3}(3)^3 - \frac{1}{2}(3)^2 - 6(3) + 5 = \frac{1}{3}(27) - \frac{1}{2}(9) - 18 + 5 = 9 - 4.5 - 18 + 5 = -8.5 \)
При \( x = -2 \):
\( y = \frac{1}{3}(-2)^3 - \frac{1}{2}(-2)^2 - 6(-2) + 5 = \frac{1}{3}(-8) - \frac{1}{2}(4) + 12 + 5 = -\frac{8}{3} - 2 + 12 + 5 = -2\frac{2}{3} + 15 = 12\frac{1}{3} \) - Определим знаки производной на интервалах:
Для \( x < -2 \) (например, \( x = -3 \)): \( y' = (-3)^2 - (-3) - 6 = 9 + 3 - 6 = 6 > 0 \) (функция возрастает).
Для \( -2 < x < 3 \) (например, \( x = 0 \)): \( y' = (0)^2 - (0) - 6 = -6 < 0 \) (функция убывает).
Для \( x > 3 \) (например, \( x = 4 \)): \( y' = (4)^2 - (4) - 6 = 16 - 4 - 6 = 6 > 0 \) (функция возрастает). - Определим точки экстремума:
В точке \( x = -2 \) функция меняет возрастание на убывание, значит, это точка максимума: \( (-2, 12\frac{1}{3}) \).
В точке \( x = 3 \) функция меняет убывание на возрастание, значит, это точка минимума: \( (3, -8.5) \). - Найдём дополнительные точки для построения графика:
При \( x = 0 \): \( y = \frac{1}{3}(0)^3 - \frac{1}{2}(0)^2 - 6(0) + 5 = 5 \). Точка: \( (0, 5) \).
При \( x = 1 \): \( y = \frac{1}{3}(1)^3 - \frac{1}{2}(1)^2 - 6(1) + 5 = \frac{1}{3} - \frac{1}{2} - 6 + 5 = \frac{2 - 3}{6} - 1 = -\frac{1}{6} - 1 = -1\frac{1}{6} \). Точка: \( (1, -1\frac{1}{6}) \).
При \( x = -1 \): \( y = \frac{1}{3}(-1)^3 - \frac{1}{2}(-1)^2 - 6(-1) + 5 = -\frac{1}{3} - \frac{1}{2} + 6 + 5 = \frac{-2 - 3}{6} + 11 = -\frac{5}{6} + 11 = 10\frac{1}{6} \). Точка: \( (-1, 10\frac{1}{6}) \).
График функции
Ответ: Точки максимума: \( (-2, 12\frac{1}{3}) \). Точки минимума: \( (3, -8.5) \). Дополнительные точки: \( (0, 5) \), \( (1, -1\frac{1}{6}) \), \( (-1, 10\frac{1}{6}) \).
