Найти экстремумы функции: точки (min; max) y = \( \frac{1}{3}x^3 - \frac{1}{2}x^2 - 6x + 5 \)

Решение:

Чтобы найти экстремумы функции, нужно найти её производную, приравнять её к нулю и решить полученное уравнение.

1. Найдем первую производную функции \( y = \frac{1}{3}x^3 - \frac{1}{2}x^2 - 6x + 5 \):
   \( y' = \left( \frac{1}{3}x^3 - \frac{1}{2}x^2 - 6x + 5 \right)' = \frac{1}{3} \cdot 3x^2 - \frac{1}{2} \cdot 2x - 6 = x^2 - x - 6 \)
2. Приравняем производную к нулю:
   \[ x^2 - x - 6 = 0 \]
3. Решим квадратное уравнение, используя теорему Виета или дискриминант.
   По теореме Виета:
   \[ x_1 + x_2 = 1 \]
   \[ x_1 \cdot x_2 = -6 \]
   Находим корни: \( x_1 = 3 \) и \( x_2 = -2 \).
4. Определим значения функции в найденных точках:
   При \( x = 3 \):
   \[ y(3) = \frac{1}{3}(3)^3 - \frac{1}{2}(3)^2 - 6(3) + 5 = \frac{1}{3}(27) - \frac{1}{2}(9) - 18 + 5 = 9 - 4.5 - 18 + 5 = -8.5 \]
   При \( x = -2 \):
   \[ y(-2) = \frac{1}{3}(-2)^3 - \frac{1}{2}(-2)^2 - 6(-2) + 5 = \frac{1}{3}(-8) - \frac{1}{2}(4) + 12 + 5 = -\frac{8}{3} - 2 + 12 + 5 = -2.67 + 15 = 12.33 \]
5. Определим тип экстремума, найдя вторую производную:
   \[ y'' = (x^2 - x - 6)' = 2x - 1 \]
   При \( x = 3 \): \( y''(3) = 2(3) - 1 = 6 - 1 = 5 \>. Так как \( y''(3) > 0 \), то в точке \( x = 3 \) — минимум.
   При \( x = -2 \): \( y''(-2) = 2(-2) - 1 = -4 - 1 = -5 \>. Так как \( y''(-2) < 0 \), то в точке \( x = -2 \) — максимум.

Ответ: Точка минимума (3; -8.5), точка максимума (-2; 12.33).