574. Найдите: а) сумму 2 + 4 + 6 + ... + 2п, слагаемыми которой являются все чётные натуральные числа от 2 до 2п; б) сумму 1+3+5+ ... + (2n - 1), слагаемыми которой явля- ются все нечётные натуральные числа от 1 до 2п – 1.

Ответ: a) n(n+1); б) n²

Решение:

а) Сумма четных чисел от 2 до 2n: Шаг 1: Определим, что это арифметическая прогрессия с первым членом a₁ = 2 и последним членом aₙ = 2n, разность d = 2. Шаг 2: Количество членов в прогрессии равно n. Шаг 3: Используем формулу для суммы арифметической прогрессии: \[ S_n = \frac{n(a_1 + a_n)}{2} = \frac{n(2 + 2n)}{2} = \frac{2n(1 + n)}{2} = n(n + 1) \]

Ответ: n(n+1)

б) Сумма нечетных чисел от 1 до 2n - 1: Шаг 1: Определим, что это арифметическая прогрессия с первым членом a₁ = 1 и последним членом aₙ = 2n - 1, разность d = 2. Шаг 2: Количество членов в прогрессии равно n. Шаг 3: Используем формулу для суммы арифметической прогрессии: \[ S_n = \frac{n(a_1 + a_n)}{2} = \frac{n(1 + 2n - 1)}{2} = \frac{n(2n)}{2} = n^2 \]

Ответ: n²

Ответ: a) n(n+1); б) n²