51. Найдите значения тригонометрических функций угла с, если известно, что: 5 π 1) sin a = 1 <α <π; 13' 2 3π < α < 2π; 2) 4 cos a = 5 2 4 π 3) tga=3, 0<a</ 12 3π 4) ctg a = 5, π< α <2. функции значению 1 значения найдите остальнЫХ

1) Дано: \(\sin \alpha = \frac{5}{13}, \frac{\pi}{2} < \alpha < \pi\)

Найдем \(\cos \alpha\), используя основное тригонометрическое тождество: \(\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1\)

\[\cos^2 \alpha = 1 - \sin^2 \alpha = 1 - \left(\frac{5}{13}\right)^2 = 1 - \frac{25}{169} = \frac{169 - 25}{169} = \frac{144}{169}\]

\[\cos \alpha = \pm \sqrt{\frac{144}{169}} = \pm \frac{12}{13}\]

Т.к. \(\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi\), то \(\alpha\) находится во II четверти, где косинус отрицательный. Значит, \(\cos \alpha = -\frac{12}{13}\)

Теперь найдем \(\tan \alpha\) и \(\cot \alpha\):

\[\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{\frac{5}{13}}{-\frac{12}{13}} = -\frac{5}{12}\]

\[\cot \alpha = \frac{1}{\tan \alpha} = -\frac{12}{5}\]

Результат: \(\cos \alpha = -\frac{12}{13}, \tan \alpha = -\frac{5}{12}, \cot \alpha = -\frac{12}{5}\)

2) Дано: \(\cos \alpha = \frac{4}{5}, \frac{3\pi}{2} < \alpha < 2\pi\)

Найдем \(\sin \alpha\), используя основное тригонометрическое тождество: \(\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1\)

\[\sin^2 \alpha = 1 - \cos^2 \alpha = 1 - \left(\frac{4}{5}\right)^2 = 1 - \frac{16}{25} = \frac{25 - 16}{25} = \frac{9}{25}\]

\[\sin \alpha = \pm \sqrt{\frac{9}{25}} = \pm \frac{3}{5}\]

Т.к. \(\frac{3\pi}{2} < \alpha < 2\pi\), то \(\alpha\) находится в IV четверти, где синус отрицательный. Значит, \(\sin \alpha = -\frac{3}{5}\)

Теперь найдем \(\tan \alpha\) и \(\cot \alpha\):

\[\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{-\frac{3}{5}}{\frac{4}{5}} = -\frac{3}{4}\]

\[\cot \alpha = \frac{1}{\tan \alpha} = -\frac{4}{3}\]

Результат: \(\sin \alpha = -\frac{3}{5}, \tan \alpha = -\frac{3}{4}, \cot \alpha = -\frac{4}{3}\)

3) Дано: \(\tan \alpha = \frac{4}{3}, 0 < \alpha < \frac{\pi}{2}\)

Найдем \(\sec \alpha\), используя тождество: \(1 + \tan^2 \alpha = \sec^2 \alpha\), где \(\sec \alpha = \frac{1}{\cos \alpha}\)

\[\sec^2 \alpha = 1 + \tan^2 \alpha = 1 + \left(\frac{4}{3}\right)^2 = 1 + \frac{16}{9} = \frac{9 + 16}{9} = \frac{25}{9}\]

\[\sec \alpha = \pm \sqrt{\frac{25}{9}} = \pm \frac{5}{3}\]

Т.к. \(0 < \alpha < \frac{\pi}{2}\), то \(\alpha\) находится в I четверти, где косинус положительный. Значит, \(\sec \alpha = \frac{5}{3}\), а \(\cos \alpha = \frac{3}{5}\)

Теперь найдем \(\sin \alpha\):

\[\sin \alpha = \tan \alpha \cdot \cos \alpha = \frac{4}{3} \cdot \frac{3}{5} = \frac{4}{5}\]

И \(\cot \alpha\):

\[\cot \alpha = \frac{1}{\tan \alpha} = \frac{3}{4}\]

Результат: \(\sin \alpha = \frac{4}{5}, \cos \alpha = \frac{3}{5}, \cot \alpha = \frac{3}{4}\)

4) Дано: \(\cot \alpha = \frac{12}{5}, \pi < \alpha < \frac{3\pi}{2}\)

Найдем \(\csc \alpha\), используя тождество: \(1 + \cot^2 \alpha = \csc^2 \alpha\), где \(\csc \alpha = \frac{1}{\sin \alpha}\)

\[\csc^2 \alpha = 1 + \cot^2 \alpha = 1 + \left(\frac{12}{5}\right)^2 = 1 + \frac{144}{25} = \frac{25 + 144}{25} = \frac{169}{25}\]

\[\csc \alpha = \pm \sqrt{\frac{169}{25}} = \pm \frac{13}{5}\]

Т.к. \(\pi < \alpha < \frac{3\pi}{2}\), то \(\alpha\) находится в III четверти, где синус отрицательный. Значит, \(\csc \alpha = -\frac{13}{5}\), а \(\sin \alpha = -\frac{5}{13}\)

Теперь найдем \(\cos \alpha\):

\[\cos \alpha = \cot \alpha \cdot \sin \alpha = \frac{12}{5} \cdot \left(-\frac{5}{13}\right) = -\frac{12}{13}\]

И \(\tan \alpha\):

\[\tan \alpha = \frac{1}{\cot \alpha} = \frac{5}{12}\]

Результат: \(\sin \alpha = -\frac{5}{13}, \cos \alpha = -\frac{12}{13}, \tan \alpha = \frac{5}{12}\)