Найдите значение выражения: cos 5π/8 cos 3π/8 +sin 5π/8 sin 3π/8

Ответ: \(\frac{\sqrt{2}}{2}\)

Разбираемся:

Для решения данного выражения, воспользуемся формулой косинуса разности:

\[\cos(\alpha - \beta) = \cos(\alpha)\cos(\beta) + \sin(\alpha)\sin(\beta)\]

В нашем случае, \(\alpha = \frac{5\pi}{8}\) и \(\beta = \frac{3\pi}{8}\). Подставим эти значения в формулу:

\[\cos\left(\frac{5\pi}{8} - \frac{3\pi}{8}\right) = \cos\left(\frac{5\pi}{8}\right)\cos\left(\frac{3\pi}{8}\right) + \sin\left(\frac{5\pi}{8}\right)\sin\left(\frac{3\pi}{8}\right)\]

Теперь упростим выражение в левой части:

\[\cos\left(\frac{5\pi}{8} - \frac{3\pi}{8}\right) = \cos\left(\frac{2\pi}{8}\right) = \cos\left(\frac{\pi}{4}\right)\]

Известно, что \(\cos\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2}\). Следовательно:

\[\cos\left(\frac{5\pi}{8}\right)\cos\left(\frac{3\pi}{8}\right) + \sin\left(\frac{5\pi}{8}\right)\sin\left(\frac{3\pi}{8}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2}\]

Ответ: \(\frac{\sqrt{2}}{2}\)