Найдите значение выражения \(\sqrt{2\sqrt{2}+3}-\sqrt{2}\)

Решение:

Возведём выражение в квадрат, чтобы избавиться от внешнего корня:

\((\sqrt{2\sqrt{2}+3}-\sqrt{2})^2 = (2\sqrt{2}+3) - 2\sqrt{(2\sqrt{2}+3) \cdot 2} + 2\)

\(= 2\sqrt{2}+3+2 - 2\sqrt{4\sqrt{2}+6}\)

\(= 5+2\sqrt{2} - 2\sqrt{4\sqrt{2}+6}\)

Теперь попробуем упростить выражение внутри квадратного корня \(2\sqrt{2}+3\). Представим \(2\sqrt{2}\) как \(\sqrt{8}\).

\(2\sqrt{2}+3 = \sqrt{8} + 3\)

Рассмотрим выражение \(2\sqrt{2}+3\) как \(a+b\) такое, что \((a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 = 2\sqrt{2}+3\).

Можно заметить, что \(2\sqrt{2}+3 = (\sqrt{2}+1)^2 = 2 + 2\sqrt{2} + 1 = 3+2\sqrt{2}\).

Значит, \(\sqrt{2\sqrt{2}+3} = \sqrt{(\sqrt{2}+1)^2} = \sqrt{2}+1\).

Подставим это в исходное выражение:

\(\sqrt{2\sqrt{2}+3}-\sqrt{2} = (\sqrt{2}+1) - \sqrt{2}\)

\(= \sqrt{2} + 1 - \sqrt{2}\)

\(= 1\)

Ответ: 1