Найдите значение выражения \( \sqrt{10 \cdot 7^2} \cdot \sqrt{10 \cdot 2^6} \).

Решение:

Воспользуемся свойством корней \( \sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{a \cdot b} \):

\( \sqrt{10 \cdot 7^2} \cdot \sqrt{10 \cdot 2^6} = \sqrt{(10 \cdot 7^2) \cdot (10 \cdot 2^6)} \)

Перегруппируем множители под корнем:

\( = \sqrt{10 \cdot 10 \cdot 7^2 \cdot 2^6} = \sqrt{10^2 \cdot 7^2 \cdot (2^3)^2} \)

Извлечём корень из квадратов:

\( = \sqrt{10^2} \cdot \sqrt{7^2} \cdot \sqrt{(2^3)^2} = 10 \cdot 7 \cdot 2^3 \)

Вычислим оставшееся значение:

\( 10 \cdot 7 \cdot 8 = 70 \cdot 8 = 560 \)

Ответ: 560