Найдите значение выражения \(\sqrt{0,25 \cdot a^{10} \cdot b^6}\) при \(a = \sqrt{2}\) и \(b = 3\).

Решение:

1. Вычислим значение выражения под корнем:
2. \(\sqrt{0,25 \cdot a^{10} \cdot b^6} = \sqrt{\frac{1}{4} \cdot a^{10} \cdot b^6}\)
3. Извлечём квадратный корень:
4. \(\sqrt{\frac{1}{4}} \cdot \sqrt{a^{10}} \cdot \sqrt{b^6} = \frac{1}{2} \cdot |a^5| \cdot |b^3|\)
5. Подставим значения \(a = \sqrt{2}\) и \(b = 3\):
6. \(a^5 = (\sqrt{2})^5 = (2^{1/2})^5 = 2^{5/2} = 2^2 \cdot 2^{1/2} = 4\sqrt{2}\)
7. \(b^3 = 3^3 = 27\)
8. \(\frac{1}{2} \cdot |4\sqrt{2}| \cdot |27| = \frac{1}{2} \cdot 4\sqrt{2} \cdot 27 = 2\sqrt{2} \cdot 27 = 54\sqrt{2}\)

Ответ: \(54\sqrt{2}\).