Найдите значение выражения \(\left(\frac{2^{\frac{1}{3}}+2^{\frac{1}{4}}}{\sqrt[12]{2}}\right)^2\).

Представим слагаемые в числителе в виде степеней с показателем \(\frac{1}{12}\):

\[2^{\frac{1}{3}}=2^{\frac{4}{12}},\qquad 2^{\frac{1}{4}}=2^{\frac{3}{12}},\qquad \sqrt[12]{2}=2^{\frac{1}{12}}.\]

Тогда

\[\left(\frac{2^{\frac{4}{12}}+2^{\frac{3}{12}}}{2^{\frac{1}{12}}}\right)^2=\left(2^{\frac{3}{12}}+2^{\frac{2}{12}}\right)^2=\left(\sqrt[4]{2}+\sqrt[6]{2}\right)^2.\]

Раскрываем квадрат суммы:

\[\left(\sqrt[4]{2}+\sqrt[6]{2}\right)^2=\sqrt{2}+2\sqrt[\,?\,]{2}+\sqrt[3]{2}.\]

В смешанном члене \(2\cdot 2^{\frac14+\frac16}=2\cdot2^{\frac{5}{12}}=2\sqrt[12]{32}\). Поэтому

\[\boxed{\sqrt{2}+2\sqrt[12]{32}+\sqrt[3]{2}}.\]