Найдите значение выражения $$ \frac{\sqrt[28]{7} \cdot \sqrt[21]{7}}{\sqrt[12]{7}} $$

Решение:

Для решения этого выражения воспользуемся свойствами степеней и корней. Преобразуем корни в степени:

\( \sqrt[n]{a} = a^{\frac{1}{n}} \)

Тогда выражение примет вид:

\[ \frac{7^{\frac{1}{28}} \cdot 7^{\frac{1}{21}}}{7^{\frac{1}{12}}} \]

При умножении степеней с одинаковым основанием показатели складываются:

\[ \frac{7^{\frac{1}{28} + \frac{1}{21}}}{7^{\frac{1}{12}}} \]

Найдем сумму показателей в числителе. Общий знаменатель для 28 и 21 равен 84:

\[ \frac{1}{28} + \frac{1}{21} = \frac{3}{84} + \frac{4}{84} = \frac{7}{84} = \frac{1}{12} \]

Теперь выражение выглядит так:

\[ \frac{7^{\frac{1}{12}}}{7^{\frac{1}{12}}} \]

При делении степеней с одинаковым основанием показатели вычитаются:

\[ 7^{\frac{1}{12} - \frac{1}{12}} = 7^0 \]

Любое число (кроме 0) в степени 0 равно 1.

\[ 7^0 = 1 \]

Ответ: 1