Найдите значение выражения \( \frac{a^{21} \cdot a^{-12}}{a^{3}} \) при \( a = 2 \).

Решение:

1. Упростим выражение, используя свойства степеней \( a^m \cdot a^n = a^{m+n} \) и \( \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} \).
2. Сначала перемножим степени в числителе: \( a^{21} \cdot a^{-12} = a^{21 + (-12)} = a^{21-12} = a^9 \).
3. Теперь разделим полученную степень на степень в знаменателе: \( \frac{a^9}{a^3} = a^{9-3} = a^6 \).
4. Подставим значение \( a = 2 \) в упрощенное выражение \( a^6 \): \( 2^6 \).
5. Вычислим значение \( 2^6 \): \( 2^6 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 64 \).

Ответ: 64.