Найдите значение выражения \( \frac{6}{3+\sqrt{7}}+3\sqrt{7} \).

Решение:

1. Умножим числитель и знаменатель первой дроби на сопряженное число знаменателя: \( \frac{6}{3+\sqrt{7}} = \frac{6(3-\sqrt{7})}{(3+\sqrt{7})(3-\sqrt{7})} \).
2. Применим формулу разности квадратов \( (a+b)(a-b) = a^2 - b^2 \) в знаменателе: \( \frac{6(3-\sqrt{7})}{3^2 - (\sqrt{7})^2} = \frac{6(3-\sqrt{7})}{9 - 7} = \frac{6(3-\sqrt{7})}{2} \).
3. Сократим дробь: \( 3(3-\sqrt{7}) = 9 - 3\sqrt{7} \).
4. Теперь сложим полученное выражение с вторым слагаемым: \( (9 - 3\sqrt{7}) + 3\sqrt{7} \).
5. Взаимоуничтожающиеся члены \( -3\sqrt{7} \) и \( +3\sqrt{7} \) сокращаются, остается \( 9 \).

Ответ: 9.