Найдите значение выражения \( \frac{50^{11} \cdot 5^{-10}}{10^9} \).

Решение:

Представим все числа в виде степеней простых чисел 5 и 2:

\[ 50 = 5^2 \cdot 2 \]

\[ 10 = 5 \cdot 2 \]

Подставим эти выражения в исходное:

\[ \frac{(5^2 \cdot 2)^{11} \cdot 5^{-10}}{(5 \cdot 2)^9} = \frac{(5^{2 \cdot 11} \cdot 2^{11}) \cdot 5^{-10}}{5^9 \cdot 2^9} \]

\[ = \frac{5^{22} \cdot 2^{11} \cdot 5^{-10}}{5^9 \cdot 2^9} \]

Сгруппируем степени с одинаковыми основаниями:

\[ = \frac{5^{22-10} \cdot 2^{11}}{5^9 \cdot 2^9} = \frac{5^{12} \cdot 2^{11}}{5^9 \cdot 2^9} \]

Теперь вычтем степени:

\[ = 5^{12-9} \cdot 2^{11-9} = 5^3 \cdot 2^2 \]

Вычислим результат:

\[ = 125 \cdot 4 = 500 \]

Ответ: 500