Найдите значение выражения: \( \frac{36}{55} \cdot \left( 3\frac{5}{14} - 3\frac{2}{21} \right) + 2\frac{3}{7} \). (В ответе укажите смешанное число с несократимой дробной частью.)

Решение:

1. Приведём смешанные числа в скобках к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 14 и 21 равен 42.
• \( 3\frac{5}{14} = 3\frac{5 \cdot 3}{14 \cdot 3} = 3\frac{15}{42} \)
• \( 3\frac{2}{21} = 3\frac{2 \cdot 2}{21 \cdot 2} = 3\frac{4}{42} \)
2. Вычтем дроби в скобках:
• \( 3\frac{15}{42} - 3\frac{4}{42} = (3-3) + (\frac{15}{42} - \frac{4}{42}) = \frac{11}{42} \)
3. Теперь умножим \( \frac{36}{55} \) на \( \frac{11}{42} \):
• \( \frac{36}{55} \cdot \frac{11}{42} = \frac{36 \cdot 11}{55 \cdot 42} \)
4. Сократим дроби:
• \( \frac{36}{55} \cdot \frac{11}{42} = \frac{36}{5 \cdot 11} \cdot \frac{11}{42} = \frac{36}{5} \cdot \frac{1}{42} \)
• \( \frac{36}{5} \cdot \frac{1}{42} = \frac{6 \cdot 6}{5} \cdot \frac{1}{6 \cdot 7} = \frac{6}{5} \cdot \frac{1}{7} = \frac{6}{35} \)
5. Прибавим \( 2\frac{3}{7} \) к полученному результату:
• \( \frac{6}{35} + 2\frac{3}{7} \)
• Приведём \( 2\frac{3}{7} \) к общему знаменателю 35: \( 2\frac{3 \cdot 5}{7 \cdot 5} = 2\frac{15}{35} \)
• \( \frac{6}{35} + 2\frac{15}{35} = 2 + (\frac{6}{35} + \frac{15}{35}) = 2 + \frac{21}{35} \)
6. Сократим дробь \( \frac{21}{35} \):
• \( \frac{21}{35} = \frac{3 \cdot 7}{5 \cdot 7} = \frac{3}{5} \)
7. Итоговый результат: \( 2\frac{3}{5} \)

Ответ: \( 2\frac{3}{5} \).