Найдите значение выражения: $$ \frac{243^{-3} \cdot 81^{-2}}{27^{-3} \cdot 3^{-16}} $$

Решение:

Для решения выражения преобразуем все основания степеней к основанию 3:

• \( 243 = 3^5 \)


• \( 81 = 3^4 \)


• \( 27 = 3^3 \)

Подставим эти значения в исходное выражение:

\[ \frac{(3^5)^{-3} \cdot (3^4)^{-2}}{(3^3)^{-3} \cdot 3^{-16}} \]

Используем свойство степени \( (a^m)^n = a^{m
\cdot n} \):

\[ \frac{3^{5 \cdot (-3)} \cdot 3^{4 \cdot (-2)}}{3^{3 \cdot (-3)} \cdot 3^{-16}} = \frac{3^{-15} \cdot 3^{-8}}{3^{-9} \cdot 3^{-16}} \]

Используем свойство степени \( a^m \cdot a^n = a^{m+n} \) в числителе и знаменателе:

\[ \frac{3^{-15 + (-8)}}{3^{-9 + (-16)}} = \frac{3^{-23}}{3^{-25}} \]

Используем свойство степени \( \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} \):

\[ 3^{-23 - (-25)} = 3^{-23 + 25} = 3^2 \]

Вычислим значение:

\[ 3^2 = 9 \]

Ответ: 9