Найдите значение выражения \( \frac{14}{17} \cdot \frac{9}{17} \cdot \frac{11}{34} \).

Решение:

Для нахождения значения выражения нужно перемножить числители и знаменатели дробей:

\( \frac{14}{17} \cdot \frac{9}{17} \cdot \frac{11}{34} = \frac{14 \cdot 9 \cdot 11}{17 \cdot 17 \cdot 34} \)

Числитель:

\( 14 \cdot 9 = 126 \)

\( 126 \cdot 11 = 1386 \)

Знаменатель:

\( 17 \cdot 17 = 289 \)

\( 289 \cdot 34 = 9826 \)

Таким образом, дробь равна \( \frac{1386}{9826} \).

Эту дробь можно сократить. Заметим, что 14 = 2 * 7, а 34 = 2 * 17. Сократим на 2:

\( \frac{1386}{9826} = \frac{1386 \div 2}{9826 \div 2} = \frac{693}{4913} \)

Далее, 14 = 2 * 7. Проверим, делится ли числитель на 7:

\( 693 \div 7 = 99 \)

Проверим, делится ли знаменатель на 7:

\( 4913 \div 7 = 701.85... \)

Не делится. Проверим делимость на 9 (сумма цифр 6+9+3 = 18):

\( 693 \div 9 = 77 \)

Проверим делимость знаменателя на 17 (так как в знаменателе есть \(17^2\)):

\( 4913 \div 17 = 289 \)

Значит, \( 4913 = 17 \cdot 17 \cdot 17 \)

\( \frac{693}{4913} = \frac{99 \cdot 7}{17^3} \)

Наиболее очевидное сокращение возможно, если заметить, что \( 14 = 2 \times 7 \), \( 34 = 2 \times 17 \).

\( \frac{14}{17} \cdot \frac{9}{17} \cdot \frac{11}{34} = \frac{2 \cdot 7}{17} \cdot \frac{9}{17} \cdot \frac{11}{2 \cdot 17} = \frac{7 \cdot 9 \cdot 11}{17 \cdot 17 \cdot 17} \)

\( 7 \cdot 9 \cdot 11 = 63 \cdot 11 = 693 \)

\( 17 \cdot 17 \cdot 17 = 289 \cdot 17 = 4913 \)

Ответ: \( \frac{693}{4913} \)