Найдите значение выражения, если m – целое число: \(\frac{65^m}{5^{m-4} \cdot 13^m}\)

Решение:

Для начала упростим выражение, используя свойства степеней. Вспомним, что \( a^{m-n} = \frac{a^m}{a^n} \) и \( (ab)^m = a^m b^m \).

1. Представим \( 65^m \) как \( (5 \cdot 13)^m = 5^m \cdot 13^m \).
2. Заменим \( 5^{m-4} \) в знаменателе на \( \frac{5^m}{5^4} \).
3. Теперь выражение выглядит так:

\[ \frac{5^m \cdot 13^m}{\frac{5^m}{5^4} \cdot 13^m} \]

4. Сократим \( 5^m \) и \( 13^m \) в числителе и знаменателе:

\[ \frac{\cancel{5^m} \cdot \cancel{13^m}}{\frac{\cancel{5^m}}{5^4} \cdot \cancel{13^m}} = \frac{1}{\frac{1}{5^4}} = 5^4 \]

5. Вычислим \( 5^4 \):

\[ 5^4 = 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 = 25 \cdot 25 = 625 \]

Ответ: 625