Найдите значение выражения (6 + √7)² + (6 - √7)²

Решение:

Воспользуемся формулой квадрата суммы и квадрата разности: \( (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 \) и \( (a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 \).

В данном выражении \( a = 6 \) и \( b = \sqrt{7} \).

Развернём скобки:

\( (6 + \sqrt{7})^2 = 6^2 + 2 \cdot 6 \cdot \sqrt{7} + (\sqrt{7})^2 = 36 + 12\sqrt{7} + 7 \)

\( (6 - \sqrt{7})^2 = 6^2 - 2 \cdot 6 \cdot \sqrt{7} + (\sqrt{7})^2 = 36 - 12\sqrt{7} + 7 \)

Теперь сложим полученные выражения:

\( (36 + 12\sqrt{7} + 7) + (36 - 12\sqrt{7} + 7) \)

Сгруппируем члены:

\( (36 + 7 + 36 + 7) + (12\sqrt{7} - 12\sqrt{7}) \)

\( (43 + 43) + 0 \)

\( 86 \)

Альтернативное решение:

Можно заметить, что данное выражение представляет собой сумму квадратов двух чисел, одно из которых является суммой \( 6 + \sqrt{7} \), а второе — разностью \( 6 - \sqrt{7} \).

Используя формулу \( (a+b)^2 + (a-b)^2 = 2(a^2 + b^2) \):

\( (6 + \sqrt{7})^2 + (6 - \sqrt{7})^2 = 2(6^2 + (\sqrt{7})^2) \)

\( = 2(36 + 7) \)

\( = 2(43) \)

\( = 86 \)

Ответ: 86.