Найдите значение выражения \( 5\sin\frac{7\pi}{12} \cdot \cos\frac{7\pi}{12} \).

Решение:

1. Исходное выражение: \( 5\sin\frac{7\pi}{12} \cdot \cos\frac{7\pi}{12} \).
2. Воспользуемся формулой двойного угла синуса: \( \sin(2\alpha) = 2\sin\alpha \cos\alpha \).
3. Преобразуем выражение, умножив и разделив на 2: \( 5\sin\frac{7\pi}{12} \cdot \cos\frac{7\pi}{12} = \frac{5}{2} \left( 2\sin\frac{7\pi}{12} \cos\frac{7\pi}{12} \right) \).
4. Применим формулу двойного угла: \( \frac{5}{2} \sin\left( 2 \cdot \frac{7\pi}{12} \right) = \frac{5}{2} \sin\frac{7\pi}{6} \).
5. Вычислим значение синуса \( \frac{7\pi}{6} \). Угол \( \frac{7\pi}{6} \) находится в третьей четверти, где синус отрицателен. \( \sin\frac{7\pi}{6} = \sin\left(\pi + \frac{\pi}{6}\right) = -\sin\frac{\pi}{6} = -\frac{1}{2} \).
6. Подставим значение синуса: \( \frac{5}{2} \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) = -\frac{5}{4} \).

Ответ: -1.25