Найдите значение выражения √5 - √3 - √29 - 6√20 .

Решение:

Для решения данного выражения упростим его:

\( \sqrt{29 - 6\sqrt{20}} \)

Сначала преобразуем подкоренное выражение:

\( 6\sqrt{20} = 6 \cdot 2\sqrt{5} = 12\sqrt{5} \)

Теперь ищем два числа, сумма которых равна 29, а произведение равно \( (6\sqrt{20}/2)^2 = (3\sqrt{20})^2 = 9 \cdot 20 = 180 \) (если бы оно было в виде \( \sqrt{a} - \sqrt{b} \), то \( \sqrt{29 - 2 \sqrt{180}} \)).

Однако, более простой способ — представить \( 6\sqrt{20} \) как \( 2 \cdot 3 \cdot \sqrt{20} \). Тогда ищем два числа, сумма которых 29, а произведение \( (3\sqrt{20})^2 = 180 \). Таких чисел нет.

Попробуем представить \( 29 - 6\sqrt{20} \) как \( (a - b)^2 = a^2 + b^2 - 2ab \).

\( 6\sqrt{20} = \sqrt{36 \cdot 20} = \sqrt{720} \).

Ищем два числа, сумма которых равна 29, а удвоенное произведение равно \( \sqrt{720} \).

Рассмотрим \( 29 - 2 \cdot 3 \cdot \sqrt{20} = 29 - 2 \cdot \sqrt{9 \cdot 20} = 29 - 2 \sqrt{180} \).

Ищем два числа, сумма которых равна 29, а произведение равно 180. Эти числа 20 и 9.

Значит, \( \sqrt{29 - 2\sqrt{180}} = \sqrt{20} - \sqrt{9} = 2\sqrt{5} - 3 \).

Теперь подставим это обратно в исходное выражение:

\( \sqrt{5} - \sqrt{3} - (2\sqrt{5} - 3) \)

\( \sqrt{5} - \sqrt{3} - 2\sqrt{5} + 3 \)

\( 3 - \sqrt{3} - \sqrt{5} \)

Проверим, является ли \( \sqrt{29 - 6\sqrt{20}} \) положительным. \( 29 \) больше \( 6\sqrt{20} \) так как \( 29^2 = 841 \) и \( (6\sqrt{20})^2 = 36 \cdot 20 = 720 \). Значит, \( \sqrt{29 - 6\sqrt{20}} \) положительно.

Исходное выражение: \( \sqrt{5} - \sqrt{3} - \sqrt{29 - 6\sqrt{20}} \)

Подставляем найденное значение:

\( \sqrt{5} - \sqrt{3} - (2\sqrt{5} - 3) \)

\( \sqrt{5} - \sqrt{3} - 2\sqrt{5} + 3 \)

\( 3 - \sqrt{3} - \sqrt{5} \)

Ответ: 3 - √3 - √5.