9 Найдите значение выражения √95 + 18/14-√14. Запишите решение и ответ.

Вычислим значение выражения $$\sqrt{95 + 18\sqrt{14}} - \sqrt{14}$$.

Предположим, что $$\sqrt{95 + 18\sqrt{14}} = a + b\sqrt{14}$$, где a и b - рациональные числа. Тогда, возводя в квадрат обе части, получим:

$$95 + 18\sqrt{14} = (a + b\sqrt{14})^2 = a^2 + 2ab\sqrt{14} + 14b^2 = (a^2 + 14b^2) + 2ab\sqrt{14}$$.

Приравнивая рациональные и иррациональные части, получим систему уравнений:

$$\begin{cases} a^2 + 14b^2 = 95 \\ 2ab = 18 \end{cases}$$

Из второго уравнения выразим a: $$a = \frac{9}{b}$$. Подставим в первое уравнение:

$$(\frac{9}{b})^2 + 14b^2 = 95 \Rightarrow \frac{81}{b^2} + 14b^2 = 95 \Rightarrow 81 + 14b^4 = 95b^2 \Rightarrow 14b^4 - 95b^2 + 81 = 0$$.

Пусть $$t = b^2$$, тогда $$14t^2 - 95t + 81 = 0$$. Решим квадратное уравнение:

$$D = 95^2 - 4 \cdot 14 \cdot 81 = 9025 - 4536 = 4489 = 67^2$$.

$$t_1 = \frac{95 + 67}{28} = \frac{162}{28} = \frac{81}{14}$$, $$t_2 = \frac{95 - 67}{28} = \frac{28}{28} = 1$$.

Если $$t = 1$$, то $$b^2 = 1$$, $$b = 1$$, и $$a = \frac{9}{1} = 9$$. Если $$t = \frac{81}{14}$$, то $$b^2 = \frac{81}{14}$$, $$b = \frac{9}{\sqrt{14}}$$, что не является рациональным числом.

Таким образом, $$\sqrt{95 + 18\sqrt{14}} = 9 + \sqrt{14}$$.

Тогда, $$\sqrt{95 + 18\sqrt{14}} - \sqrt{14} = (9 + \sqrt{14}) - \sqrt{14} = 9$$.

Ответ: 9