Контрольные задания > 17. Найдите значение выражения √6√5+14-√5. 18. Из точки М к окружности с центром О проведены касательные МА и МВ. Найдите рас- стояние между точками касания А и В, если ∠AOB = 120° и МО = 22.
Вопрос:

17. Найдите значение выражения √6√5+14-√5. 18. Из точки М к окружности с центром О проведены касательные МА и МВ. Найдите рас- стояние между точками касания А и В, если ∠AOB = 120° и МО = 22.

Смотреть решения всех заданий с листа

Ответ:

Ответ: 3

Краткое пояснение: Упростим выражение под корнем, выделив полный квадрат.

17. Найдите значение выражения

\[\sqrt{6\sqrt{5}+14-\sqrt{5}}\] Разберемся:
  • Преобразуем выражение под корнем, чтобы выделить полный квадрат.
\[\sqrt{6\sqrt{5}+14-\sqrt{5}} = \sqrt{9 + 5 + 6\sqrt{5} - \sqrt{5}} = \sqrt{(3+\sqrt{5})^2} = |3+\sqrt{5}|\] Тут нам надо упростить выражение, обращая внимание на знаки. \[|3+\sqrt{5}| = 3 + \sqrt{5}\] В нашем случае, мы просто извлекаем квадратный корень. \[\sqrt{(3+\sqrt{5})^2} = 3 + \sqrt{5}\] Теперь посмотрим на исходное выражение и упростим его: \[\sqrt{6\sqrt{5}+14-\sqrt{5}} = \sqrt{9 + 5 + 6\sqrt{5} - \sqrt{5}} = \sqrt{(3+\sqrt{5})^2} = |3+\sqrt{5}| = 3\]
  • Учитывая, что корень извлекается из квадрата, ответ будет равен 3.

Ответ: 3

Ответ: 11√3

Краткое пояснение: Найдем радиус окружности, затем применим теорему косинусов для нахождения расстояния между точками касания.

18. Расстояние между точками касания

Разберемся:
  • Из точки \(M\) к окружности с центром \(O\) проведены касательные \(MA\) и \(MB\).
  • Найдите расстояние между точками касания \(A\) и \(B\), если \(\angle AOB = 120^\circ\) и \(MO = 22\).
  • Так как \(MA\) и \(MB\) — касательные к окружности, то углы \(MAO\) и \(MBO\) прямые (равны 90°).
  • Рассмотрим четырехугольник \(MAOB\). Сумма углов в четырехугольнике равна 360°, следовательно, \(\angle AMB = 360^\circ - 90^\circ - 90^\circ - 120^\circ = 60^\circ\).
  • Треугольники \(\triangle MAO\) и \( \triangle MBO\) равны (по катету и гипотенузе). Значит, \(\angle AMO = \angle BMO = \frac{1}{2} \angle AMB = 30^\circ\).
  • В прямоугольном треугольнике \(\triangle MAO\) имеем: \(\sin \angle AMO = \frac{AO}{MO}\), где \(AO\) — радиус окружности.
  • Тогда \(AO = MO \cdot \sin \angle AMO = 22 \cdot \sin 30^\circ = 22 \cdot \frac{1}{2} = 11\).
Теперь найдем расстояние \(AB\). Рассмотрим треугольник \(\triangle AOB\).
  • Он равнобедренный, так как \(AO = OB = R = 11\).
  • Применим теорему косинусов для нахождения \(AB\):
\[AB^2 = AO^2 + OB^2 - 2 \cdot AO \cdot OB \cdot \cos \angle AOB\] \[AB^2 = 11^2 + 11^2 - 2 \cdot 11 \cdot 11 \cdot \cos 120^\circ\] \[AB^2 = 121 + 121 - 2 \cdot 121 \cdot (-\frac{1}{2})\] \[AB^2 = 242 + 121 = 363\] \[AB = \sqrt{363} = \sqrt{121 \cdot 3} = 11\sqrt{3}\]

Ответ: 11√3

Цифровой атлет: Уровень интеллекта: +50

Минус 15 минут нудной домашки. Потрать их на катку или новый рилс

Стань легендой класса: поделись решением с теми, кто в танке

ГДЗ по фото 📸