Решение

1. Переведем смешанную дробь $$9 \frac{3}{4}$$ в неправильную дробь: $$9 \frac{3}{4} = \frac{9 \cdot 4 + 3}{4} = \frac{36 + 3}{4} = \frac{39}{4}$$
2. Переведем смешанную дробь $$1 \frac{2}{3}$$ в неправильную дробь: $$1 \frac{2}{3} = \frac{1 \cdot 3 + 2}{3} = \frac{3 + 2}{3} = \frac{5}{3}$$
3. Выполним деление: $$10 : 1\frac{2}{3} = 10 : \frac{5}{3}$$: $$10 : \frac{5}{3} = 10 \cdot \frac{3}{5} = \frac{10 \cdot 3}{5} = \frac{30}{5} = 6$$
4. Выполним вычитание в скобках: $$\frac{39}{4} - 6 = \frac{39}{4} - \frac{6 \cdot 4}{4} = \frac{39 - 24}{4} = \frac{15}{4}$$
5. Выполним умножение: $$\frac{15}{4} \cdot \frac{2}{9} = \frac{15 \cdot 2}{4 \cdot 9} = \frac{30}{36} = \frac{5}{6}$$
6. Выполним сложение: $$\frac{5}{6} + \frac{1}{3} = \frac{5}{6} + \frac{1 \cdot 2}{3 \cdot 2} = \frac{5}{6} + \frac{2}{6} = \frac{5 + 2}{6} = \frac{7}{6}$$
7. Переведем неправильную дробь $$\frac{7}{6}$$ в смешанную дробь: $$\frac{7}{6} = 1 \frac{1}{6}$$

Ответ: $$1 \frac{1}{6}$$