Найдите значение выражения \(\frac{16x-25y}{4\sqrt{x}-5\sqrt{y}}-\sqrt{y}\), если \(\sqrt{x}+\sqrt{y} = 3\).

Ответ: 12

Шаг 1: Упрощаем выражение

Рассмотрим выражение: \(\frac{16x - 25y}{4\sqrt{x} - 5\sqrt{y}} - \sqrt{y}\)

Заметим, что \(16x = (4\sqrt{x})^2\) и \(25y = (5\sqrt{y})^2\). Поэтому числитель можно представить как разность квадратов:

\[16x - 25y = (4\sqrt{x})^2 - (5\sqrt{y})^2 = (4\sqrt{x} - 5\sqrt{y})(4\sqrt{x} + 5\sqrt{y})\]

Теперь подставим это в исходное выражение:

\[\frac{(4\sqrt{x} - 5\sqrt{y})(4\sqrt{x} + 5\sqrt{y})}{4\sqrt{x} - 5\sqrt{y}} - \sqrt{y}\]

Сокращаем дробь:

\[4\sqrt{x} + 5\sqrt{y} - \sqrt{y} = 4\sqrt{x} + 4\sqrt{y}\]

Выносим общий множитель 4:

\[4(\sqrt{x} + \sqrt{y})\]

Шаг 2: Подставляем значение

По условию \(\sqrt{x} + \sqrt{y} = 3\). Подставляем это значение в упрощенное выражение:

\[4(\sqrt{x} + \sqrt{y}) = 4 \cdot 3 = 12\]

Ответ: 12