Найдите значение выражения \(\frac{-14}{\sin^2 72^\circ + \sin^2 162^\circ}\).

Разбираемся:

Для начала упростим выражение, используя формулы приведения и основное тригонометрическое тождество.

Шаг 1: Преобразуем \(\sin^2 162^\circ\), используя формулу приведения:

\[\sin 162^\circ = \sin (180^\circ - 18^\circ) = \sin 18^\circ\]

Тогда:

\[\sin^2 162^\circ = \sin^2 18^\circ\]

Шаг 2: Преобразуем \(\sin^2 72^\circ\), используя формулу приведения:

\[\sin 72^\circ = \sin (90^\circ - 18^\circ) = \cos 18^\circ\]

Тогда:

\[\sin^2 72^\circ = \cos^2 18^\circ\]

Шаг 3: Подставим полученные выражения в исходное:

\[\frac{-14}{\sin^2 72^\circ + \sin^2 162^\circ} = \frac{-14}{\cos^2 18^\circ + \sin^2 18^\circ}\]

Шаг 4: Используем основное тригонометрическое тождество:

\[\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha = 1\]

Получаем:

\[\frac{-14}{\cos^2 18^\circ + \sin^2 18^\circ} = \frac{-14}{1} = -14\]

Шаг 5: Умножим числитель и знаменатель на \(\frac{10}{7}\)

\[-14 \cdot \frac{10}{7} = -20\]