Найдите значение выражения \[\frac{x^3y-xy^3}{2(y-x)} \cdot \frac{3(x-y)}{x^2-y^2}\] при \[x = 4\] и \[y = \frac{1}{4}.\]

Ответ: 65/34

Пошаговое решение:

• Шаг 1: Упрощение выражения

  Разложим числитель первой дроби:

  \[x^3y - xy^3 = xy(x^2 - y^2)\]

  Теперь перепишем исходное выражение:

  \[\frac{xy(x^2 - y^2)}{2(y-x)} \cdot \frac{3(x-y)}{x^2-y^2}\]
• Шаг 2: Сокращение дробей

  Заметим, что \[(x-y) = -(y-x)\]. Тогда:

  \[\frac{xy(x^2 - y^2)}{2(y-x)} \cdot \frac{3(x-y)}{x^2-y^2} = \frac{xy \cdot 3(x-y)}{2(y-x)} = \frac{3xy \cdot (-(y-x))}{2(y-x)}\]

  Сокращаем \[(y-x)\]:

  \[\frac{-3xy}{2}\]
• Шаг 3: Подстановка значений

  Подставим \[x = 4\] и \[y = \frac{1}{4}\] в упрощенное выражение:

  \[\frac{-3 \cdot 4 \cdot \frac{1}{4}}{2} = \frac{-3}{2}\]

  Однако, мы потеряли знак минус при сокращении. Поэтому, исправим это:

  \[-\frac{-3xy}{2} = \frac{3xy}{2}\]

  Теперь подставим:

  \[\frac{3 \cdot 4 \cdot \frac{1}{4}}{2} = \frac{3}{2}\]

  После сокращения, учтем этот минус:

  \[-\frac{3}{2}\]

  Произошла ошибка при сокращении. Вернемся к исходному выражению и подставим значения:

  После подстановки значений, выражение принимает вид:

  \[\frac{4^3 \cdot \frac{1}{4} - 4 \cdot (\frac{1}{4})^3}{2(\frac{1}{4}-4)} \cdot \frac{3(4-\frac{1}{4})}{4^2-(\frac{1}{4})^2}\]

  Упростим числитель первой дроби:

  \[4^3 \cdot \frac{1}{4} - 4 \cdot (\frac{1}{4})^3 = 4^2 - \frac{4}{4^3} = 16 - \frac{1}{16} = \frac{256-1}{16} = \frac{255}{16}\]

  Упростим знаменатель первой дроби:

  \[2(\frac{1}{4}-4) = 2(\frac{1-16}{4}) = 2 \cdot \frac{-15}{4} = \frac{-15}{2}\]

  Упростим числитель второй дроби:

  \[3(4-\frac{1}{4}) = 3(\frac{16-1}{4}) = 3 \cdot \frac{15}{4} = \frac{45}{4}\]

  Упростим знаменатель второй дроби:

  \[4^2 - (\frac{1}{4})^2 = 16 - \frac{1}{16} = \frac{256-1}{16} = \frac{255}{16}\]

  Подставим упрощенные выражения:

  \[\frac{\frac{255}{16}}{\frac{-15}{2}} \cdot \frac{\frac{45}{4}}{\frac{255}{16}} = \frac{255}{16} \cdot \frac{2}{-15} \cdot \frac{45}{4} \cdot \frac{16}{255} = \frac{2}{-15} \cdot \frac{45}{4} = \frac{90}{-60} = -\frac{3}{2}\]

Ответ: -3/2