Найдите значение суммы: б) 1/(7*8) + 1/(8*9) + 1/(9*10) + 1/(10*11) + 1/(11*12) + 1/(12*13) + 1/(13*14)

Решение:

Данную сумму можно представить как сумму разностей:

\( \frac{1}{7 \cdot 8} = \frac{1}{7} - \frac{1}{8} \)

\( \frac{1}{8 \cdot 9} = \frac{1}{8} - \frac{1}{9} \)

\( \frac{1}{9 \cdot 10} = \frac{1}{9} - \frac{1}{10} \)

\( \frac{1}{10 \cdot 11} = \frac{1}{10} - \frac{1}{11} \)

\( \frac{1}{11 \cdot 12} = \frac{1}{11} - \frac{1}{12} \)

\( \frac{1}{12 \cdot 13} = \frac{1}{12} - \frac{1}{13} \)

\( \frac{1}{13 \cdot 14} = \frac{1}{13} - \frac{1}{14} \)

При сложении все промежуточные члены сокращаются (телескопическая сумма):

\( \left( \frac{1}{7} - \frac{1}{8} \right) + \left( \frac{1}{8} - \frac{1}{9} \right) + \left( \frac{1}{9} - \frac{1}{10} \right) + \left( \frac{1}{10} - \frac{1}{11} \right) + \left( \frac{1}{11} - \frac{1}{12} \right) + \left( \frac{1}{12} - \frac{1}{13} \right) + \left( \frac{1}{13} - \frac{1}{14} \right) = \frac{1}{7} - \frac{1}{14} \)

\( \frac{1}{7} - \frac{1}{14} = \frac{2}{14} - \frac{1}{14} = \frac{1}{14} \)

Ответ: \( \frac{1}{14} \).