Найдите значение суммы: a) 1/(2*3) + 1/(3*4) + 1/(4*5) + 1/(5*6) + 1/(6*7) + 1/(7*8) + 1/(8*9) + 1/(9*10)

Решение:

Данную сумму можно представить как сумму разностей:

\( \frac{1}{2 \cdot 3} = \frac{1}{2} - \frac{1}{3} \)

\( \frac{1}{3 \cdot 4} = \frac{1}{3} - \frac{1}{4} \)

\( \frac{1}{4 \cdot 5} = \frac{1}{4} - \frac{1}{5} \)

\( \frac{1}{5 \cdot 6} = \frac{1}{5} - \frac{1}{6} \)

\( \frac{1}{6 \cdot 7} = \frac{1}{6} - \frac{1}{7} \)

\( \frac{1}{7 \cdot 8} = \frac{1}{7} - \frac{1}{8} \)

\( \frac{1}{8 \cdot 9} = \frac{1}{8} - \frac{1}{9} \)

\( \frac{1}{9 \cdot 10} = \frac{1}{9} - \frac{1}{10} \)

При сложении все промежуточные члены сокращаются (телескопическая сумма):

\( \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{3} \right) + \left( \frac{1}{3} - \frac{1}{4} \right) + \left( \frac{1}{4} - \frac{1}{5} \right) + \left( \frac{1}{5} - \frac{1}{6} \right) + \left( \frac{1}{6} - \frac{1}{7} \right) + \left( \frac{1}{7} - \frac{1}{8} \right) + \left( \frac{1}{8} - \frac{1}{9} \right) + \left( \frac{1}{9} - \frac{1}{10} \right) = \frac{1}{2} - \frac{1}{10} \)

\( \frac{1}{2} - \frac{1}{10} = \frac{5}{10} - \frac{1}{10} = \frac{4}{10} = \frac{2}{5} \)

Ответ: \( \frac{2}{5} \).