Найдите высоту прямого кругового цилиндра наибольшего объёма, вписанного в шар радиуса R.

Пошаговое решение:

1. Пусть радиус основания цилиндра будет r, а его высота — h. Объем цилиндра вычисляется по формуле: V = πr²h.
2. Рассмотрим сечение шара и вписанного цилиндра. В этом сечении мы увидим круг (шар) и прямоугольник (цилиндр). Радиус шара R будет гипотенузой прямоугольного треугольника, катетами которого являются радиус основания цилиндра r и половина высоты цилиндра h/2. По теореме Пифагора: r² + (h/2)² = R².
3. Выразим r² через h: r² = R² - (h/2)² = R² - h²/4.
4. Подставим это выражение в формулу объема цилиндра:
   V(h) = π(R² - h²/4)h = π(R²h - h³/4).
5. Чтобы найти максимальный объем, найдем производную функции V(h) по h и приравняем ее к нулю:
   V'(h) = π(R² - 3h²/4).
6. Приравниваем производную к нулю:
   π(R² - 3h²/4) = 0
   R² - 3h²/4 = 0
   R² = 3h²/4
   h² = 4R²/3
   h = √(4R²/3) = 2R/√3.
7. Для проверки, что это максимум, найдем вторую производную:
   V''(h) = π(-6h/4) = -3πh/2.
   Так как h > 0, то V''(h) < 0, что подтверждает, что мы нашли максимум.

Ответ: Высота цилиндра наибольшего объёма, вписанного в шар радиуса R, равна 2R/√3.