Найдите вторую производную y"(x) функции y(x) = 6ln(πx) – 6x² + 2e⁻¹ в точке x₀ = 4. Ответ округлите до сотых.

Решение:

Дана функция \( y(x) = 6\ln(\pi x) - 6x^2 + 2e^{-1} \). Необходимо найти вторую производную \( y''(x) \) в точке \( x_0 = 4 \).

1. Найдём первую производную \( y'(x) \):
   Производная от \( 6\ln(\pi x) \) равна \( 6 \cdot \frac{1}{\pi x} \cdot \pi = \frac{6}{x} \).
   Производная от \( -6x^2 \) равна \( -12x \).
   Производная от константы \( 2e^{-1} \) равна 0.
   Следовательно, \( y'(x) = \frac{6}{x} - 12x \).
2. Найдём вторую производную \( y''(x) \):
   Производная от \( \frac{6}{x} = 6x^{-1} \) равна \( 6 \cdot (-1)x^{-2} = -\frac{6}{x^2} \>.
   Производная от \( -12x \) равна \( -12 \).
   Следовательно, \( y''(x) = -\frac{6}{x^2} - 12 \>.
3. Вычислим значение второй производной в точке \( x_0 = 4 \):
   \( y''(4) = -\frac{6}{4^2} - 12 \>
   \( y''(4) = -\frac{6}{16} - 12 \>
   \( y''(4) = -\frac{3}{8} - 12 \>
   \( y''(4) = -0.375 - 12 \>
   \( y''(4) = -12.375 \>
4. Округлим результат до сотых:
   \( -12.375 \) округляется до \( -12.38 \>.

Ответ: -12.38